Théorème de Kronecker et polynômes entiers

On s'intéresse aux propriétés des racines complexes d'un polynôme unitaire à coefficients entiers.

Soit $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n \geq 1$ . Justifier qu'il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ dont le polynôme caractéristique est $\chi_M = P$ .
On note $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les racines complexes de $P$ $P$ comptées avec multiplicité.
1. Démontrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , la somme $S_k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k$ est un nombre entier.
2. Pour $k \in \mathbb{N}^*$ , on définit le polynôme $P_k = \prod_{j=1}^n (X - \lambda_j^k)$ . Montrer que $P_k$ appartient à $\mathbb{Z}[X]$ .
On suppose dans cette question que toutes les racines $\lambda_j$ $λ_{j}$ sont de module $1$ $1$ .
1. En utilisant les relations entre coefficients et racines, montrer que l'ensemble $\{P_k \mid k \in \mathbb{N}^*\}$ est fini.
2. En déduire que chaque $\lambda_j$ est une racine de l'unité.
Soit $f : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ la fonction définie par $f(k) = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k$ . Montrer que si toutes les racines $\lambda_j$ sont de module au plus $1$ , alors $f$ est périodique à partir d'un certain rang.

1.

Piste 1 : Penser à la matrice compagnon du polynôme $P$ .

2.

Piste 2 : Utiliser le lien entre la trace de $M^k$ et la somme des puissances $k$ -ièmes des valeurs propres.

3.

Piste 3 : Remarquer que les coefficients de $P_k$ sont des fonctions symétriques élémentaires des $\lambda_j^k$ . Si $|\lambda_j|=1$ , ces coefficients sont bornés. S'ils sont entiers et bornés, il n'y a qu'un nombre fini de possibilités.

4.

Piste 4 : Si les racines sont des racines de l'unité ou nulles, les puissances finissent par boucler.

Idées clés

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Matrice compagnon et intégrité des coefficients.

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Lien entre $\text{Tr}(M^k)$ et $\sum \lambda_i^k$ .

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Argument de finitude pour les polynômes à coefficients entiers bornés.

Résolution.

Considérons la matrice compagnon $C_P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ associée au polynôme $P$ : $C_P = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & -a_0 1 & \ddots & \vdots & -a_1 \vdots & \ddots & 0 & \vdots 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}$ Un calcul classique par développement selon la dernière colonne (ou par récurrence) montre que : $\boxed{\chi_{C_P}(X) = \det(XI_n - C_P) = P(X)}$ Comme $P \in \mathbb{Z}[X]$ , les coefficients $a_i$ sont entiers, donc $C_P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ .
1. Soit $M$ la matrice compagnon de $P$ . Ses valeurs propres complexes sont exactement les racines $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $P$ . D'après le cours, les valeurs propres de $M^k$ sont $\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k$ . Ainsi, on a la relation : $\text{Tr}(M^k) = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k$ Puisque $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , alors $M^k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ par stabilité du produit. La trace d'une matrice à coefficients entiers est un entier. $\boxed{\forall k \in \mathbb{N}^*, \ S_k \in \mathbb{Z}}$
2. Le polynôme $P_k = \prod_{j=1}^n (X - \lambda_j^k)$ est le polynôme caractéristique de la matrice $M^k$ . Comme $M^k$ est à coefficients entiers, son polynôme caractéristique est, par définition du déterminant, un polynôme unitaire à coefficients entiers. $\boxed{P_k \in \mathbb{Z}[X]}$
1. Notons $P_k = X^n + c_{n-1}(k)X^{n-1} + \dots + c_0(k)$ . D'après les relations coefficients-racines, chaque $c_{n-i}(k)$ est (au signe près) la $i$ -ème fonction symétrique élémentaire des racines $\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k$ . Par exemple, $|c_{n-1}(k)| = |\sum \lambda_j^k| \leq \sum |\lambda_j|^k$ . Si $|\lambda_j| = 1$ pour tout $j$ , alors pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ : $|c_{n-i}(k)| \leq \binom{n}{i} \max_j |\lambda_j|^{ik} = \binom{n}{i}$ Les coefficients de $P_k$ sont des entiers (d'après 2.b) et ils sont bornés par une constante indépendante de $k$ . Or, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers dans un intervalle borné. Il n'y a donc qu'un nombre fini de choix possibles pour chaque coefficient, et par extension, un nombre fini de polynômes $P_k$ . $\boxed{\text{L'ensemble } \{P_k \mid k \in \mathbb{N}^*\} \text{ est fini.}}$
2. L'ensemble des racines de tous les $P_k$ est donc un ensemble fini. En particulier, pour une racine fixée $\lambda_i$ , l'ensemble $\{\lambda_i^k \mid k \in \mathbb{N}^*\}$ est fini. Cela implique qu'il existe $k_1 < k_2$ tels que $\lambda_i^{k_1} = \lambda_i^{k_2}$ . Puisque $|\lambda_i|=1$ , on a $\lambda_i \neq 0$ , donc $\lambda_i^{k_2 - k_1} = 1$ . $\boxed{\lambda_i \text{ est une racine de l'unité.}}$
Si $|\lambda_j| \leq 1$ , alors soit $\lambda_j = 0$ , soit $|\lambda_j| = 1$ . En effet, si $0 < |\lambda_j| < 1$ , alors $|c_0(k)| = |\prod \lambda_j^k|$ tendrait vers 0 sans jamais l'atteindre, ce qui est impossible pour un entier non nul. Ainsi, les racines non nulles sont des racines de l'unité (d'après 3.b). Chaque $\lambda_j \neq 0$ vérifie $\lambda_j^{m_j} = 1$ pour un certain $m_j \in \mathbb{N}^*$ . En prenant $N = \text{ppcm}(m_j)$ , on a $\lambda_j^N = 1$ pour tout $\lambda_j \neq 0$ . Dès que $k \geq 1$ (pour gérer le cas $\lambda_j=0$ ), on a $\lambda_j^{k+N} = \lambda_j^k$ . Par sommation, $f(k+N) = f(k)$ pour $k$ assez grand.

Attention à ne pas oublier le cas où certaines racines pourraient être nulles. Le module égal à 1 est une condition forte ; si on suppose seulement le module inférieur ou égal à 1, il faut utiliser l'argument sur le produit des racines (le coefficient constant $c_0$ ) pour exclure les valeurs de module strictement compris entre 0 et 1.