Clôture algébrique des rationnels

On note $\bar{\mathbb{Q}}$ l'ensemble des nombres complexes dits algébriques sur $\mathbb{Q}$ , c'est-à-dire les racines des polynômes non nuls à coefficients dans $\mathbb{Q}$ . Pour tout $x \in \mathbb{C}$ , on note $\mathbb{Q}[x] = \{ P(x) \mid P \in \mathbb{Q}[X] \}$ .

Soit $x \in \mathbb{C}$ . Montrer que $x \in \bar{\mathbb{Q}}$ si et seulement si $\mathbb{Q}[x]$ est un $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel de dimension finie.
Soient $x, y \in \bar{\mathbb{Q}}$ . En considérant l'espace vectoriel $V = \text{Vect}_{\mathbb{Q}} \{ x^i y^j \mid i,j \in \mathbb{N} \}$ , montrer que $x+y$ et $xy$ appartiennent à $\bar{\mathbb{Q}}$ .
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ $n \in N^{*}$ et $a_0, \dots, a_{n-1} \in \bar{\mathbb{Q}}$ $a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in \overset{ˉ}{Q}$ . Soit $z \in \mathbb{C}$ $z \in C$ une racine du polynôme $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$ $P = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0}$ .
1. Justifier l'existence d'un $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel $E \subset \mathbb{C}$ de dimension finie non réduit à $\{0\}$ tel que pour tout $i \in \{0, \dots, n-1\}$ , $a_i E \subset E$ .
2. En considérant l'espace $F = E + zE + \dots + z^{n-1}E$ , montrer que $z \in \bar{\mathbb{Q}}$ .
Conclure que $\bar{\mathbb{Q}}$ est un corps algébriquement clos. Est-il égal à $\mathbb{C}$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser la division euclidienne pour le sens réciproque.

2.

Pour la question 2, montrer que $V$ est de dimension finie en utilisant les degrés des polynômes annulateurs de $x$ et $y$ , puis observer que $x+y$ et $xy$ stabilisent $V$ .

3.

Pour la question 3(a), on peut construire $E$ par récurrence ou comme somme de sous-espaces de type $\mathbb{Q}[a_i]$ .

4.

Pour la question 4, dénombrer l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels.

Idées clés

•

Caractérisation de l'algébricité par la dimension finie (structure de $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel).

•

Stabilité par les opérations algébriques via la construction d'espaces stables de dimension finie.

•

Argument de dénombrabilité pour la comparaison avec $\mathbb{C}$ .

Résolution.

Sens direct : Supposons $x \in \bar{\mathbb{Q}}$ . Il existe $A \in \mathbb{Q}[X]$ non nul tel que $A(x) = 0$ . Soit $n = \deg(A)$ . Par division euclidienne de tout $P \in \mathbb{Q}[X]$ par $A$ , on a $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < n$ . Alors $P(x) = A(x)Q(x) + R(x) = R(x)$ , donc $\mathbb{Q}[x] = \text{Vect}_{\mathbb{Q}}(1, x, \dots, x^{n-1})$ . $\boxed{\dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}[x]) \leq \deg(A) < +\infty}$
Sens réciproque : Si $\dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}[x]) = d < +\infty$ , la famille $(1, x, \dots, x^d)$ est liée dans $\mathbb{Q}[x]$ . Il existe donc des coefficients $(c_0, \dots, c_d) \in \mathbb{Q}^{d+1}$ non tous nuls tels que $\sum_{k=0}^d c_k x^k = 0$ . Le polynôme $P = \sum c_k X^k$ est non nul et annule $x$ , donc $x \in \bar{\mathbb{Q}}$ .
Soient $x, y \in \bar{\mathbb{Q}}$ . Notons $n = \dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}[x])$ et $m = \dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}[y])$ . L'espace $V = \text{Vect}_{\mathbb{Q}} \{ x^i y^j \mid 0 \leq i < n, 0 \leq j < m \}$ est un $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel de dimension au plus $nm$ . Comme $x \in \bar{\mathbb{Q}}$ et $y \in \bar{\mathbb{Q}}$ , toute puissance supérieure de $x$ (resp. $y$ ) se réexprime comme combinaison linéaire des puissances inférieures. Ainsi, pour tout $v \in V$ , on a $(x+y)v \in V$ et $(xy)v \in V$ . L'espace $V$ est donc un sous-espace de $\mathbb{C}$ de dimension finie, stable par l'endomorphisme de multiplication par $x+y$ (noté $m_{x+y}$ ). D'après le théorème de Cayley-Hamilton (ou simplement par liberté liée), $m_{x+y}$ possède un polynôme annulateur non nul à coefficients dans $\mathbb{Q}$ , donc son unique valeur propre $x+y$ est racine de ce polynôme. $\boxed{x+y \in \bar{\mathbb{Q}} \text{et} xy \in \bar{\mathbb{Q}}}$
1. Pour chaque $a_i \in \bar{\mathbb{Q}}$ , l'espace $E_i = \mathbb{Q}[a_i]$ est de dimension finie. Posons $E = \text{Vect}_{\mathbb{Q}} \{ \prod_{i=0}^{n-1} v_i \mid v_i \in E_i \}$ . C'est l'espace engendré par les produits d'éléments des $E_i$ . Si $(e_{i,k})_k$ est une base de $E_i$ , alors $(\prod e_{i, k_i})$ engendre $E$ . Sa dimension est donc au plus le produit des dimensions des $E_i$ , ce qui est fini. Par construction, pour tout $j \in \{0, \dots, n-1\}$ , on a $a_j E \subset E$ . $\boxed{\dim_{\mathbb{Q}}(E) < +\infty}$
2. L'espace $F = E + zE + \dots + z^{n-1}E$ est une somme finie d'espaces de dimension finie, donc $\dim_{\mathbb{Q}}(F) < +\infty$ . Montrons que $F$ est stable par la multiplication par $z$ . Soit $f \in F$ , $f = \sum_{k=0}^{n-1} e_k z^k$ avec $e_k \in E$ . $zf = \sum_{k=0}^{n-2} e_k z^{k+1} + e_{n-1} z^n$ . Or $z^n = -\sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i$ . Donc $zf = \sum_{k=1}^{n-1} e_{k-1} z^k - e_{n-1} \sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i = \sum_{i=0}^{n-1} (e'_{i} - a_i e_{n-1}) z^i$ . Puisque $a_i e_{n-1} \in E$ par stabilité de $E$ par les $a_i$ , on a $zf \in F$ . Comme $F$ est de dimension finie sur $\mathbb{Q}$ et stable par multiplication par $z$ , le même argument qu'à la question 2 montre que : $\boxed{z \in \bar{\mathbb{Q}}}$
Les questions 2 et 3 montrent que $\bar{\mathbb{Q}}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$ et que tout polynôme à coefficients dans $\bar{\mathbb{Q}}$ y possède toutes ses racines (puisqu'elles sont dans $\mathbb{C}$ d'après d'Alembert-Gauss, et qu'on vient de prouver qu'elles sont alors dans $\bar{\mathbb{Q}}$ ). L'ensemble $\mathbb{Q}[X]$ est dénombrable (union dénombrable d'ensembles de type $\mathbb{Q}^n$ ). Chaque polynôme ayant un nombre fini de racines, $\bar{\mathbb{Q}}$ est une union dénombrable d'ensembles finis, donc $\bar{\mathbb{Q}}$ est dénombrable. Or, $\mathbb{C}$ n'est pas dénombrable par l'argument de la diagonale de Cantor. $\boxed{\bar{\mathbb{Q}} \subsetneq \mathbb{C}}$

Attention à ne pas confondre "algébrique sur $\mathbb{Q}$ " et "algébrique sur $\mathbb{R}$ ". Tout nombre complexe est algébrique sur $\mathbb{R}$ car il est racine de $(X-z)(X-\bar{z}) \in \mathbb{R}[X]$ . La difficulté ici est la restriction des coefficients à $\mathbb{Q}$ .