Théorème de Fermat pour la trace

Soit $p$ un nombre premier et $n \in \mathbb{N}^*$ . On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients entiers.

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ . Montrer que l'on a la congruence suivante : $\operatorname{Tr}((A+B)^p) \equiv \operatorname{Tr}(A^p) + \operatorname{Tr}(B^p) \pmod p$
En déduire que pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , on a : $\operatorname{Tr}(A^p) \equiv \operatorname{Tr}(A) \pmod p$
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par les conditions initiales $u_0 = 3, u_1 = 0, u_2 = 2$ et la relation de récurrence : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+3} = u_{n+1} + u_n$ Démontrer que pour tout nombre premier $p$ , l'entier $u_p$ est divisible par $p$ .

1.

Pour les questions 1 et 2, travailler dans le corps fini $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Utiliser le fait que dans un anneau de caractéristique $p$ , la puissance $p$ -ième interagit de façon particulière avec la trace via les valeurs propres ou le polynôme caractéristique.

2.

Pour la question 2, on peut utiliser le fait que le polynôme caractéristique $\chi_A$ vérifie $\chi_A(X)^p = \chi_A(X^p)$ dans $\mathbb{F}_p[X]$ .

3.

Pour la question 3, exprimer $u_n$ comme la trace de la puissance $n$ -ième d'une matrice compagnon bien choisie.

Idées clés

•

Morphisme de Frobenius dans les corps de caractéristique $p$ .

•

Lien entre trace d'une matrice et somme de ses valeurs propres (dans une extension de corps).

•

Propriété du polynôme caractéristique sur $\mathbb{F}_p$ .

•

Représentation matricielle des suites récurrentes linéaires.

Résolution.

Plaçons-nous dans le corps $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Soit $\bar{A}$ et $\bar{B}$ les projections de $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_p)$ . Soit $\mathbb{K}$ une extension de corps de $\mathbb{F}_p$ dans laquelle les polynômes caractéristiques de $\bar{A}, \bar{B}$ et $\overline{A+B}$ sont scindés (par exemple le corps de rupture ou la clôture algébrique). Notons $(\lambda_i)_{1 \le i \le n}$ les valeurs propres de $\bar{A}$ dans $\mathbb{K}$ . On sait que : $\operatorname{Tr}(\bar{A}^p) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^p$ Or, dans un corps de caractéristique $p$ , l'application $x \mapsto x^p$ (Frobenius) est un morphisme d'anneaux. En particulier, $(\sum x_i)^p = \sum x_i^p$ . On a donc : $\operatorname{Tr}(\bar{A}^p) = \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \right)^p = (\operatorname{Tr}(\bar{A}))^p$ De même, $\operatorname{Tr}(\bar{B}^p) = (\operatorname{Tr}(\bar{B}))^p$ et $\operatorname{Tr}((\overline{A+B})^p) = (\operatorname{Tr}(\overline{A+B}))^p$ . Puisque $\operatorname{Tr}(\overline{A+B}) = \operatorname{Tr}(\bar{A}) + \operatorname{Tr}(\bar{B})$ , il vient : $\operatorname{Tr}((\overline{A+B})^p) = (\operatorname{Tr}(\bar{A}) + \operatorname{Tr}(\bar{B}))^p = \operatorname{Tr}(\bar{A})^p + \operatorname{Tr}(\bar{B})^p$ En revenant aux traces dans $\mathbb{F}_p$ , on obtient : $\boxed{\operatorname{Tr}((A+B)^p) \equiv \operatorname{Tr}(A^p) + \operatorname{Tr}(B^p) \pmod p}$
Utilisons maintenant le petit théorème de Fermat pour les scalaires de $\mathbb{F}_p$ : $\forall x \in \mathbb{F}_p, x^p = x$ . D'après le raisonnement précédent, on a établi que $\operatorname{Tr}(\bar{A}^p) = (\operatorname{Tr}(\bar{A}))^p$ . En appliquant Fermat à l'élément $x = \operatorname{Tr}(\bar{A}) \in \mathbb{F}_p$ , on obtient : $\operatorname{Tr}(\bar{A}^p) = \operatorname{Tr}(\bar{A})$ Ce qui se traduit par la congruence dans $\mathbb{Z}$ : $\boxed{\operatorname{Tr}(A^p) \equiv \operatorname{Tr}(A) \pmod p}$ Autre méthode via le polynôme caractéristique : Dans $\mathbb{F}_p[X]$ , si $\chi_A(X) = \sum c_k X^k$ , alors $\chi_A(X)^p = \sum c_k^p X^{kp} = \sum c_k X^{kp} = \chi_A(X^p)$ . De plus, les valeurs propres de $\bar{A}^p$ sont les $(\lambda_i^p)$ . Ainsi $\chi_{\bar{A}^p}(X) = \prod (X - \lambda_i^p)$ . En évaluant en $X^p$ , on a $\chi_{\bar{A}^p}(X^p) = \prod (X^p - \lambda_i^p) = \prod (X - \lambda_i)^p = \chi_{\bar{A}}(X)^p = \chi_{\bar{A}}(X^p)$ . Par identification des coefficients de $X^{p(n-1)}$ , on retrouve $\operatorname{Tr}(\bar{A}^p) = \operatorname{Tr}(\bar{A})$ .
Considérons la matrice compagnon $M$ $M$ associée à la relation de récurrence :
$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{Z})$
Le polynôme caractéristique de $M$ $M$ est $\chi_M(X) = X^3 - X - 1$ $χ_{M} (X) = X^{3} - X - 1$ . Soient $\alpha, \beta, \gamma$ $α, β, γ$ les racines complexes de $\chi_M$ $χ_{M}$ . La suite $(u_n)$ $(u_{n})$ vérifie une récurrence linéaire dont les racines de l'équation caractéristique sont $\alpha, \beta, \gamma$ $α, β, γ$ . Il existe donc $a, b, c$ $a, b, c$ tels que $u_n = a\alpha^n + b\beta^n + c\gamma^n$ $u_{n} = a α^{n} + b β^{n} + c γ^{n}$ . Les conditions initiales imposent :
- $u_0 = a + b + c = 3$
- $u_1 = a\alpha + b\beta + c\gamma = \operatorname{Tr}(M) = 0$
- $u_2 = a\alpha^2 + b\beta^2 + c\gamma^2 = \operatorname{Tr}(M^2)$
Calculons $\operatorname{Tr}(M^2)$ $Tr (M^{2})$ . $M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ $M^{2} = 010011101$ , donc $\operatorname{Tr}(M^2) = 0+1+1=2$ $Tr (M^{2}) = 0 + 1 + 1 = 2$ . On remarque que $u_0, u_1, u_2$ $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ correspondent exactement aux traces de $M^0, M^1, M^2$ $M^{0}, M^{1}, M^{2}$ (en effet $a=b=c=1$ $a = b = c = 1$ convient). Par récurrence (ou par propriété des traces des puissances), on a :
$\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \operatorname{Tr}(M^n)$
En appliquant le résultat de la question 2 à la matrice $M$ $M$ , on a :
$u_p = \operatorname{Tr}(M^p) \equiv \operatorname{Tr}(M) \pmod p$
Comme $\operatorname{Tr}(M) = 0$ $Tr (M) = 0$ , on en conclut que :
$\boxed{u_p \equiv 0 \pmod p}$

Attention à ne pas affirmer que $A^p \equiv A \pmod p$ pour les matrices. C'est faux en général ! Par exemple, si $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ , alors $A^p = 0$ pour $p \ge 2$ , mais $A \neq 0$ . Seule la trace vérifie cette congruence systématiquement.