Sous-groupes finis de matrices entières

Le but de cet exercice est d'étudier les propriétés de rigidité des matrices à coefficients entiers ayant un ordre fini dans le groupe linéaire.

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ $A \in M_{n} (Z)$ une matrice telle qu'il existe $p \in \mathbb{N}^{*}$ $p \in N^{*}$ vérifiant $A^{p} = I_{n}$ $A^{p} = I_{n}$ . On suppose qu'il existe un entier $m \geqslant 3$ $m ⩾ 3$ tel que $A \equiv I_{n} \pmod m$ $A \equiv I_{n} (mod m)$ , c'est-à-dire qu'il existe $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ $B \in M_{n} (Z)$ telle que $A = I_{n} + m B$ $A = I_{n} + m B$ .
1. Justifier que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et déterminer ses valeurs propres possibles.
2. Soit $\lambda$ une valeur propre de $B$ . Montrer que $|\lambda| < 1$ .
3. En considérant le polynôme caractéristique de $B$ , démontrer que $B = 0$ et en déduire que $A = I_{n}$ .
Soit $G$ $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z})$ $GL_{n} (Z)$ .
1. On considère l'application $\varphi : \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}) \longrightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z})$ qui à une matrice $M$ associe la matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3. Montrer que la restriction de $\varphi$ à $G$ est un morphisme de groupes injectif.
2. En déduire que le cardinal de $G$ est fini et vérifie la majoration : $|G| \leq \prod_{i=0}^{n-1} (3^{n} - 3^{i})$
Soit $p$ un nombre premier impair. On considère $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ dont toutes les racines complexes sont de module 1. On suppose qu'il existe $Q \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire tel que $P(X) = p^{n} Q\left(\frac{X-1}{p}\right)$ . Montrer que $P = (X-1)^{n}$ .

1.

Pour la question 1(b), utiliser la relation entre les valeurs propres de $A$ et de $B$ . Remarquer que les racines de l'unité $\omega$ vérifient $|\omega - 1| \leq 2$ .

2.

Pour la question 1(c), si $B \neq 0$ , le produit de ses valeurs propres non nulles est lié à un coefficient de son polynôme caractéristique.

3.

Pour la question 2(a), identifier le noyau de la restriction de $\varphi$ et utiliser le résultat de la question 1.

4.

Pour la question 3, faire un lien avec les valeurs propres d'une matrice virtuelle et utiliser un argument de module similaire à la question 1.

Idées clés

•

Diagonalisabilité des matrices d'ordre fini.

•

Relation entre les valeurs propres de $f(A)$ et celles de $A$ .

•

Propriétés arithmétiques du polynôme caractéristique (coefficients entiers).

•

Injection d'un groupe fini dans un groupe de matrices sur un corps fini.

Résolution.

Étude de la matrice $A$ d'ordre fini.
1. La matrice $A$ vérifie l'équation $A^p - I_n = 0$ . Le polynôme $X^p - 1$ est un polynôme annulateur de $A$ . Ce polynôme est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}[X]$ (les racines sont les $\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{p}}$ pour $k \in \{0, \dots, p-1\}$ ). D'après le critère de diagonalisation, $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ et son spectre est inclus dans l'ensemble des racines $p$ -ièmes de l'unité : $\boxed{\mathrm{Sp}(A) \subset \mathbb{U}_p = \{ \omega \in \mathbb{C} \mid \omega^p = 1 \}}$
2. On a $A = I_n + mB$ , donc $B = \frac{1}{m}(A - I_n)$ . Par le théorème de l'image spectrale, si $\lambda$ est une valeur propre de $B$ , il existe une valeur propre $\omega$ de $A$ telle que : $\lambda = \frac{\omega - 1}{m}$ Comme $\omega \in \mathbb{U}_p$ , on a $|\omega| = 1$ . Par l'inégalité triangulaire : $|\omega - 1| \leq |\omega| + |-1| = 2$ Ainsi, on obtient : $|\lambda| \leq \frac{2}{m}$ Puisque l'énoncé impose $m \geq 3$ , on a $\frac{2}{m} \leq \frac{2}{3} < 1$ . D'où : $\boxed{|\lambda| < 1}$
3. Le polynôme caractéristique de $B$ , noté $\chi_B(X) = \det(XI_n - B)$ , est un polynôme unitaire de degré $n$ . Comme $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , on a $\chi_B \in \mathbb{Z}[X]$ . Soit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les racines de $\chi_B$ dans $\mathbb{C}$ (les valeurs propres de $B$ ). Supposons $B \neq 0$ . Comme $B$ est diagonalisable (car $A$ l'est), $B$ possède au moins une valeur propre non nulle. Soit $k$ le plus petit entier tel que le coefficient de $X^k$ dans $\chi_B$ est non nul. Ce coefficient $a_k$ est le produit des racines non nulles de $B$ (au signe près). Or, d'après la question précédente, chaque valeur propre $\lambda_i$ vérifie $|\lambda_i| < 1$ . Leur produit (non vide) vérifie donc : $0 < |a_k| = \prod_{\lambda_i \neq 0} |\lambda_i| < 1$ Ceci est impossible car $a_k$ est un entier. Par conséquent, toutes les valeurs propres de $B$ sont nulles. Comme $B$ est diagonalisable, on en déduit : $\boxed{B = 0 \text{et donc} A = I_n}$
Application aux sous-groupes finis.
1. La réduction modulo 3 des coefficients est un morphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ . Par extension, $\varphi$ est un morphisme de groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ vers $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ . Soit $M \in \ker(\varphi_{|G})$ . Alors $\varphi(M) = I_n \pmod 3$ . Cela signifie que chaque coefficient $M_{i,j}$ est congru à celui de $I_n$ modulo 3. Donc $M = I_n + 3B$ avec $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ . Comme $M \in G$ et $G$ est un groupe fini, $M$ est d'ordre fini. Il existe $p$ tel que $M^p = I_n$ . En appliquant le résultat de la question 1 avec $m=3$ , on en déduit immédiatement $M = I_n$ . Le noyau est donc réduit à l'élément neutre : $\boxed{\varphi_{|G} \text{ est injectif}}$
2. Puisque $\varphi_{|G}$ est une injection de $G$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ , le cardinal de $G$ divise (et est donc inférieur ou égal) à celui de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ . Le cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ est donné par la formule classique : $\mathrm{Card}(\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)) = \prod_{i=0}^{n-1} (q^n - q^i)$ En appliquant cela avec $q=3$ , on obtient : $\boxed{|G| \leq \prod_{i=0}^{n-1} (3^n - 3^i)}$
Lemme polynomial. Soit $\omega_1, \dots, \omega_n$ les racines de $P$ . Par hypothèse, $|\omega_i| = 1$ pour tout $i$ . Le polynôme $Q$ est défini par $Q(Y) = \frac{1}{p^n} P(1 + pY)$ . Ses racines sont les $y_i = \frac{\omega_i - 1}{p}$ . Comme dans la question 1(b), puisque $p \geq 3$ et $|\omega_i|=1$ , on a : $|y_i| = \frac{|\omega_i - 1|}{p} \leq \frac{2}{p} < 1$ Le polynôme $Q$ est dans $\mathbb{Z}[X]$ et est unitaire. Si $Q(Y) \neq Y^n$ , alors $Q$ possède des racines non nulles. Le produit des racines non nulles est (au signe près) un coefficient non nul de $Q$ , donc un entier $a_k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ . Mais le produit de ces racines est de module strictement inférieur à 1 : $0 < |a_k| = \prod_{y_i \neq 0} |y_i| < 1$ C'est une contradiction. Ainsi toutes les racines $y_i$ sont nulles. On en conclut que $\omega_i = 1$ pour tout $i$ , soit : $\boxed{P = (X-1)^n}$

L'argument sur le produit des valeurs propres nécessite que la matrice soit diagonalisable. Si elle ne l'était pas, on ne pourrait pas affirmer que $B=0$ simplement parce que son spectre est $\{0\}$ (elle pourrait être nilpotente non nulle). Ici, la diagonalisabilité est garantie par l'ordre fini.