Matrices entières de dimension 2 d'ordre fini

On considère une matrice $M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ .

On suppose qu'il existe un entier $k \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $M^{k} = I_{2}$ . Démontrer que $M^{12} = I_{2}$ .
Soit $M \in SL_{2}(\mathbb{Z})$ $M \in S L_{2} (Z)$ (l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ $M_{2} (Z)$ de déterminant $1$ $1$ ).
1. On suppose que $M$ est d'ordre fini, c'est-à-dire qu'il existe $n \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $M^{n} = I_{2}$ . Montrer que l'ordre de $M$ dans le groupe $SL_{2}(\mathbb{Z})$ appartient à $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ .
2. On suppose désormais que $M \in SL_{2}(\mathbb{Z})$ est d'ordre $4$ . Montrer que $M$ est semblable dans $SL_{2}(\mathbb{Z})$ à la matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Soit $N \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ telle qu'il existe $d \in \mathbb{N}^*$ vérifiant $N^d = I_2$ . Peut-on encore affirmer que $N^{12} = I_2$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ et que ses valeurs propres sont des racines de l'unité. Exploiter ensuite la trace de $M$ .

2.

Pour la question 2(a), si $\det(M)=1$ , le polynôme caractéristique est de la forme $X^2 - \mathrm{Tr}(M)X + 1$ .

3.

Pour la question 2(b), chercher un vecteur $e_1 \in \mathbb{Z}^2$ tel que $(e_1, Me_1)$ forme une base de $\mathbb{Z}^2$ .

4.

Pour la question 3, remarquer que le polynôme caractéristique d'une matrice à coefficients rationnels est à coefficients rationnels.

Idées clés

•

Une matrice d'ordre fini est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .

•

Les valeurs propres d'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ d'ordre fini sont des racines de l'unité dont la somme (la trace) est un entier.

•

En dimension 2, la trace $T$ et le déterminant $D$ caractérisent le polynôme caractéristique $\chi_M(X) = X^2 - TX + D$ .

Résolution.

Puisque $M^k = I_2$ $M^{k} = I_{2}$ , le polynôme $P(X) = X^k - 1$ $P (X) = X^{k} - 1$ est un polynôme annulateur de $M$ $M$ . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ $C$ . Ainsi, $M$ $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ $M_{2} (C)$ . Ses valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2$ $λ_{1}, λ_{2}$ sont des racines $k$ $k$ -ièmes de l'unité. En particulier, $|\lambda_1| = |\lambda_2| = 1$ $∣ λ_{1} ∣ = ∣ λ_{2} ∣ = 1$ . La trace de $M$ $M$ , notée $T$ $T$ , est la somme des valeurs propres : $T = \lambda_1 + \lambda_2$ $T = λ_{1} + λ_{2}$ . Comme $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ $M \in M_{2} (Z)$ , on a $T \in \mathbb{Z}$ $T \in Z$ . D'après l'inégalité triangulaire :
$|T| = |\lambda_1 + \lambda_2| \leq |\lambda_1| + |\lambda_2| = 2$
Les valeurs possibles pour $T$ $T$ sont donc $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ . Le déterminant $D = \lambda_1 \lambda_2$ $D = λ_{1} λ_{2}$ est également un entier. Comme $|\lambda_1 \lambda_2| = 1$ $∣ λ_{1} λ_{2} ∣ = 1$ , on a $D \in \{-1, 1\}$ $D \in {- 1, 1}$ . Analysons les cas selon le polynôme caractéristique $\chi_M(X) = X^2 - TX + D$ $χ_{M} (X) = X^{2} - TX + D$ :
- Si $T=2$ , alors $\lambda_1+\lambda_2=2$ avec $|\lambda_1|=|\lambda_2|=1$ impose $\lambda_1=\lambda_2=1$ . Comme $M$ est diagonalisable, $M = I_2$ , donc $M^{12} = I_2$ .
- Si $T=-2$ , alors $\lambda_1=\lambda_2=-1$ , donc $M = -I_2$ . Ainsi $M^2 = I_2$ , d'où $M^{12} = I_2$ .
- Si $T=0$ , alors $\lambda_2 = -\lambda_1$ . Comme $\lambda_1 \lambda_2 = D = \pm 1$ , on a $-\lambda_1^2 = \pm 1$ . Si $D=1$ , $\lambda_1^2 = -1 \implies \lambda_i \in \{i, -i\}$ . Alors $M^4 = I_2$ . Si $D=-1$ , $\lambda_1^2 = 1 \implies \lambda_i \in \{1, -1\}$ . Alors $M^2 = I_2$ . Dans les deux cas, $M^{12} = I_2$ .
- Si $T=1$ , alors $\lambda_1, \lambda_2$ sont racines de $X^2 - X + D = 0$ . Si $D=1$ , $\lambda = e^{\pm i\pi/3}$ , alors $M^6 = I_2$ . Si $D=-1$ , les racines ne sont pas de module 1 (produit $-1$ , somme $1$ ), exclu.
- Si $T=-1$ , alors $\lambda_1, \lambda_2$ sont racines de $X^2 + X + D = 0$ . Si $D=1$ , $\lambda = e^{\pm i2\pi/3}$ , alors $M^3 = I_2$ . Si $D=-1$ , racines exclues.
Dans tous les cas possibles :
$\boxed{M^{12} = I_2}$
1. Si $M \in SL_2(\mathbb{Z})$ $M \in S L_{2} (Z)$ , alors $D = \det(M) = 1$ $D = det (M) = 1$ . D'après l'étude précédente avec $D=1$ $D = 1$ , les valeurs de $T$ $T$ possibles sont $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .
  - $T=2 \implies \chi_M = (X-1)^2 \implies M=I_2$ (ordre 1).
  - $T=-2 \implies \chi_M = (X+1)^2 \implies M=-I_2$ (ordre 2).
  - $T=0 \implies \chi_M = X^2+1 \implies M^4=I_2$ (ordre 4).
  - $T=1 \implies \chi_M = X^2-X+1 \implies M^6=I_2$ (ordre 6).
  - $T=-1 \implies \chi_M = X^2+X+1 \implies M^3=I_2$ (ordre 3).
  L'ordre appartient bien à $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ ${1, 2, 3, 4, 6}$ .
2. Si $M$ est d'ordre 4, son polynôme caractéristique est $X^2+1$ . Soit $x \in \mathbb{Z}^2$ un vecteur non nul. Posons $e_1 = x$ et $e_2 = Me_1$ . La famille $(e_1, e_2)$ est libre car sinon $e_1$ serait vecteur propre de $M$ , ce qui est impossible puisque les valeurs propres sont $\pm i \notin \mathbb{R}$ . Pour que $M$ soit conjuguée à la matrice cible dans $SL_2(\mathbb{Z})$ , il suffit de trouver $e_1$ tel que le réseau engendré par $e_1$ et $Me_1$ soit $\mathbb{Z}^2$ . Considérons l'application $\phi : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}$ définie par $\phi(x) = \det(x, Mx)$ . Comme $\det(M)=1$ et $M^2 = -I$ , on vérifie que $\phi$ est bien définie. Il existe un vecteur $e_1$ minimisant $\phi$ positivement. On montre (par l'algorithme d'Euclide sur les réseaux) qu'on peut choisir $e_1$ tel que $\det(e_1, Me_1) = 1$ . Dans cette base, la matrice est : $\boxed{ P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ avec } P \in SL_2(\mathbb{Z}) }$
Si $N \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ , le raisonnement sur la trace reste identique car $Tr(N)$ doit être la somme de deux racines de l'unité ET $Tr(N) \in \mathbb{Q}$ . Or, la somme de deux racines de l'unité est un entier algébrique. Si c'est un rationnel, c'est nécessairement un entier. Par conséquent, $Tr(N) \in \mathbb{Z}$ et la conclusion est identique : $\boxed{N^{12} = I_2}$

Attention : une matrice dont le polynôme caractéristique est $(X-1)^2$ n'est pas forcément $I_2$ . Elle ne l'est que si elle est diagonalisable, ce qui est assuré ici par la condition $M^k = I_2$ .