Caractérisation et structure des entiers algébriques

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et $B$ un sous-anneau de $A$ . On dit qu'un élément $a \in A$ est un entier algébrique sur $B$ s'il existe un polynôme $P \in B[X]$ unitaire tel que $P(a) = 0$ . On note $\bar{B}$ l'ensemble des éléments de $A$ entiers algébriques sur $B$ .

Premières propriétés
1. On considère $A = \mathbb{C}$ et $B = \mathbb{Z}$ . Montrer que les racines $n$ -ièmes de l'unité ainsi que $\sqrt{2}$ sont des entiers algébriques sur $\mathbb{Z}$ .
2. Soit $z \in \mathbb{Q}$ . Montrer que si $z$ est un entier algébrique sur $\mathbb{Z}$ , alors $z \in \mathbb{Z}$ .
Caractérisations de l'algébricité Soit $a \in A$ $a \in A$ . Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. $a$ est un entier algébrique sur $B$ .
2. $a$ est une valeur propre d'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(B)$ pour un certain $n \in \mathbb{N}^*$ .
3. Il existe un $B$ -module de type fini non réduit à $\{0\}$ stable par la multiplication par $a$ . Plus précisément : il existe $x_1, \dots, x_p \in A$ non tous nuls tels que le sous-ensemble $H = \left\{ \sum_{i=1}^p b_i x_i \mid (b_1, \dots, b_p) \in B^p \right\}$ satisfasse $aH \subset H$ .
Structure de l'ensemble des entiers algébriques
1. En utilisant la caractérisation (iii), démontrer que $\bar{B}$ est un sous-anneau de $A$ contenant $B$ .
2. Applications :
  1. Déterminer l'ensemble des rationnels $r \in \mathbb{Q}$ tels que $\cos(r\pi) \in \mathbb{Q}$ .
  2. Le nombre $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est-il un entier algébrique sur $\mathbb{Z}$ ?

1.

Pour 1.(b), écrire $z = p/q$ sous forme irréductible et utiliser le lemme de Gauss après avoir multiplié la relation $P(z)=0$ par $q^{\deg P}$ .

2.

Pour 2.(i) $\Rightarrow$ (ii), penser à la matrice compagnon.

3.

Pour 2.(iii) $\Rightarrow$ (i), traduire la stabilité par un système linéaire $aX = MX$ et utiliser la matrice complémentaire (ou adjugate) pour obtenir un polynôme annulateur unitaire.

4.

Pour 3.(a), si $a$ et $a'$ stabilisent $H$ et $H'$ , montrer que $a+a'$ et $aa'$ stabilisent le produit $HH'$ engendré par les $x_i y_j$ .

5.

Pour 3.(b), remarquer que $2\cos(r\pi) = e^{ir\pi} + e^{-ir\pi}$ et utiliser le fait que les racines de l'unité sont des entiers algébriques.

Idées clés

•

Lien entre racines de polynômes unitaires et valeurs propres (matrice compagnon).

•

Utilisation de la structure de $B$ -module de type fini pour caractériser l'algébricité.

•

Stabilité par somme et produit via le produit tensoriel "implicite" (famille des $x_i y_j$ ).

Résolution.

Premières propriétés
1. Une racine $n$ -ième de l'unité $\omega$ vérifie $\omega^n - 1 = 0$ . Le polynôme $X^n - 1$ est unitaire et appartient à $\mathbb{Z}[X]$ . De même, $\sqrt{2}$ est racine de $X^2 - 2 \in \mathbb{Z}[X]$ , qui est unitaire. $\boxed{\omega \in \bar{\mathbb{Z}} \text{et} \sqrt{2} \in \bar{\mathbb{Z}}}$
2. Soit $z = \frac{p}{q}$ avec $p \wedge q = 1$ et $q \in \mathbb{N}^*$ . Supposons $P(z) = 0$ avec $P = X^d + \sum_{k=0}^{d-1} a_k X^k \in \mathbb{Z}[X]$ . En multipliant par $q^d$ , on obtient : $p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d = 0$ On isole $p^d$ : $p^d = -q \left( a_{d-1} p^{d-1} + \dots + a_0 q^{d-1} \right)$ . Ainsi, $q$ divise $p^d$ . Comme $p \wedge q = 1$ , par le lemme de Gauss, on a nécessairement $q = 1$ . $\boxed{z \in \mathbb{Q} \cap \bar{\mathbb{Z}} \implies z \in \mathbb{Z}}$
Caractérisations de l'algébricité
1. $\mathbf{(i) \implies (ii)}$ : Soit $a$ racine de $P = X^n + c_{n-1}X^{n-1} + \dots + c_0 \in B[X]$ . On considère la matrice compagnon $C_P \in \mathcal{M}_n(B)$ : $C_P = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & -c_0 1 & \ddots & \vdots & -c_1 \vdots & \ddots & 0 & \vdots 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \end{pmatrix}$ On sait que $\chi_{C_P}(X) = (-1)^n P(X)$ . Ainsi, $P(a)=0 \implies \det(aI - C_P) = 0$ . $a$ est donc valeur propre de $C_P$ (dans un anneau, cela signifie que $aI - C_P$ n'est pas inversible).
2. $\mathbf{(ii) \implies (iii)}$ : Si $a$ est valeur propre de $M \in \mathcal{M}_p(B)$ , il existe un vecteur $V = {}^t(x_1, \dots, x_p) \in A^p$ non nul tel que $MV = aV$ . Alors pour tout $i$ , $ax_i = \sum_{j=1}^p M_{i,j} x_j \in H = \sum B x_j$ . La stabilité est immédiate par linéarité.
3. $\mathbf{(iii) \implies (i)}$ : Supposons $a x_i = \sum_{j=1}^p M_{i,j} x_j$ avec $M_{i,j} \in B$ . On a le système $(a I_p - M) X = 0$ où $X = {}^t(x_1, \dots, x_p) \neq 0$ . En multipliant à gauche par la matrice complémentaire $\text{Com}(a I_p - M)^T$ , on obtient : $\det(a I_p - M) X = 0$ Comme l'un des $x_k$ est non nul (on peut supposer que $A$ est intègre ou travailler dans le $B$ -module), on en déduit que $a$ est racine du polynôme caractéristique $P(X) = \det(X I_p - M) \in B[X]$ . Ce polynôme est unitaire par définition du déterminant.
Structure et applications
1. Soient $a, a' \in \bar{B}$ . Il existe $H = \text{Vect}_B(x_1, \dots, x_p)$ et $H' = \text{Vect}_B(y_1, \dots, y_q)$ stables par $a$ et $a'$ respectivement. Considérons $K = \text{Vect}_B(\{x_i y_j\}_{i,j})$ . C'est un $B$ -module de type fini. On vérifie que $(a+a') x_i y_j = (a x_i) y_j + x_i (a' y_j) \in K$ et $(aa') x_i y_j = (ax_i)(a'y_j) \in K$ . $\boxed{a, a' \in \bar{B} \implies a+a' \in \bar{B} \text{ et } aa' \in \bar{B}}$
2. 1. Soit $r = p/q \in \mathbb{Q}$ . $e^{ir\pi}$ et $e^{-ir\pi}$ sont des racines de l'unité, donc dans $\bar{\mathbb{Z}}$ . Par structure d'anneau, $2\cos(r\pi) = e^{ir\pi} + e^{-ir\pi} \in \bar{\mathbb{Z}}$ . Si $\cos(r\pi) \in \mathbb{Q}$ , alors $2\cos(r\pi) \in \mathbb{Q} \cap \bar{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}$ d'après 1.(b). Les seules valeurs possibles pour $2\cos\theta$ dans $\mathbb{Z}$ sont $\{0, \pm 1, \pm 2\}$ . $\boxed{\cos(r\pi) \in \{0, \pm 1, \pm 1/2\}}$
  2. Si $\frac{\sqrt{3}}{2} \in \bar{\mathbb{Z}}$ , alors son carré $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \in \bar{\mathbb{Z}}$ . Or $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$ , donc d'après 1.(b), $\frac{3}{4}$ devrait être un entier. C'est absurde. $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2} \notin \bar{\mathbb{Z}}}$

Ne pas oublier que le polynôme doit être unitaire. Tout nombre algébrique est racine d'un polynôme à coefficients entiers (ex: $2X-1$ pour $1/2$ ), mais seuls les entiers algébriques sont racines d'un polynôme dont le coefficient dominant est $1$ .