Ordres des éléments de M2(Z)

_{2}(\mathbb{Z})$}

Déterminer l'ensemble des entiers $n \in \mathbb{N}^{*}$ pour lesquels il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ dont l'ordre multiplicatif dans $\text{GL}_2(\mathbb{Z})$ est exactement $n$ .

On rappelle que l'ordre de $M$ est le plus petit entier $n \geq 1$ tel que $M^n = I_2$ .

1.

Si $M^n = I_2$ , quelles sont les valeurs propres possibles de $M$ dans $\mathbb{C}$ ?

2.

Utiliser le fait que le polynôme caractéristique $\chi_M = X^2 - \text{Tr}(M)X + \det(M)$ est à coefficients entiers.

3.

Étudier les valeurs possibles de la trace de $M$ en distinguant le cas où les valeurs propres sont réelles et le cas où elles sont complexes non réelles.

4.

Pour la réciproque, construire explicitement des matrices pour chaque valeur de $n$ candidate (penser aux matrices compagnons).

Idées clés

•

Lien entre ordre fini et diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ .

•

Propriétés arithmétiques de la trace et du déterminant pour une matrice à coefficients entiers.

•

Utilisation du polynôme caractéristique en dimension 2.

Analyse : conditions nécessaires sur $n$ .

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ une matrice d'ordre $n$ . Le polynôme $P(X) = X^n - 1$ est un polynôme annulateur de $M$ .

Comme $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , la matrice $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ . Ses valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2$ sont des racines $n$ -ièmes de l'unité.

Le polynôme caractéristique de $M$ est donné par :

\chi_M(X) = X^2 - \text{Tr}(M)X + \det(M)

Puisque $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ , on a nécessairement :

\boxed{\text{Tr}(M) \in \mathbb{Z}   \text{et}   \det(M) \in \mathbb{Z}}

Les valeurs propres sont de module 1 (racines de l'unité), donc $|\det(M)| = |\lambda_1 \lambda_2| = 1$ . Comme $\det(M) \in \mathbb{Z}$ , on a $\det(M) \in \{-1, 1\}$ .

De plus, $|\text{Tr}(M)| = |\lambda_1 + \lambda_2| \leq |\lambda_1| + |\lambda_2| = 2$ . Comme la trace est entière, $\text{Tr}(M) \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ .

Premier cas : Les valeurs propres sont réelles.

Alors $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \cap \mathbb{U}_n = \{1, -1\}$ . Les couples de valeurs propres possibles sont $(1,1)$ , $(-1,-1)$ et $(1,-1)$ .

Si $(\lambda_1, \lambda_2) = (1,1)$ , $M$ est semblable à $I_2$ , donc $M=I_2$ (ordre $n=1$ ).
Si $(\lambda_1, \lambda_2) = (-1,-1)$ , $M$ est semblable à $-I_2$ , donc $M=-I_2$ (ordre $n=2$ ).
Si $(\lambda_1, \lambda_2) = (1,-1)$ , $M^2$ est semblable à $\text{diag}(1^2, (-1)^2) = I_2$ , donc $M^2 = I_2$ . L'ordre est $n=2$ .

Second cas : Les valeurs propres ne sont pas réelles.

Alors $\lambda_2 = \overline{\lambda_1}$ . Posons $\lambda_1 = e^{i\theta}$ avec $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$ . La trace est $T = 2\cos(\theta) \in \mathbb{Z}$ . Comme $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$ , on a $|2\cos(\theta)| < 2$ , d'où $T \in \{-1, 0, 1\}$ .

Si $T=1$ , alors $\cos(\theta) = 1/2$ , donc $\theta \equiv \pm \pi/3 \pmod{2\pi}$ . Les valeurs propres sont $e^{i\pi/3}$ et $e^{-i\pi/3}$ , qui sont des racines primitives 6-ièmes de l'unité. L'ordre est $n=6$ .
Si $T=0$ , alors $\cos(\theta) = 0$ , donc $\theta \equiv \pm \pi/2 \pmod{2\pi}$ . Les valeurs propres sont $i$ et $-i$ , qui sont des racines primitives 4-ièmes de l'unité. L'ordre est $n=4$ .
Si $T=-1$ , alors $\cos(\theta) = -1/2$ , donc $\theta \equiv \pm 2\pi/3 \pmod{2\pi}$ . Les valeurs propres sont $e^{2i\pi/3}$ et $e^{-2i\pi/3}$ , qui sont des racines primitives 3-ièmes de l'unité. L'ordre est $n=3$ .

Ainsi, nécessairement $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ .

Synthèse : construction d'exemples.

Vérifions que chacun de ces ordres est réalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ :

Pour $n=1$ : $M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 \end{pmatrix}$ convient.
Pour $n=2$ : $M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}$ convient.
Pour $n=4$ : La matrice $M_4 = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $X^2+1$ . Ses valeurs propres sont $\pm i$ . Elle est d'ordre 4.
Pour $n=3$ : La matrice $M_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $X^2+X+1$ . Ses valeurs propres sont $j, j^2$ . Elle est d'ordre 3.
Pour $n=6$ : La matrice $M_6 = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 1 \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $X^2-X+1$ . Ses valeurs propres sont $e^{i\pi/3}, e^{-i\pi/3}$ . Elle est d'ordre 6.

L'ensemble recherché est donc :

\boxed{ \mathcal{S} = \{1, 2, 3, 4, 6\} }

Ne pas oublier que si une matrice est d'ordre $n$ , ses valeurs propres sont des racines $n$ -ièmes de l'unité, mais pas forcément toutes primitives. L'ordre de la matrice est le PPCM des ordres des valeurs propres. En dimension 2, l'ordre est soit l'ordre d'une valeur propre (si elles sont identiques), soit le PPCM des deux.