Arithmétique des racines et matrices compagnons

Soit $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \in \mathbb{Z}[X]$ un polynôme unitaire à coefficients entiers. On note $z_1, \dots, z_n$ les racines complexes de $P$ comptées avec leur multiplicité, de sorte que :

P = \prod_{k=1}^n (X - z_k)

Justifier qu'il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ dont le polynôme caractéristique est égal à $P$ .
Soit $Q \in \mathbb{Z}[X]$ un polynôme à coefficients entiers. Montrer que le polynôme $R = \prod_{k=1}^n (X - Q(z_k))$ appartient à $\mathbb{Z}[X]$ .
En déduire que pour tout entier naturel $N \in \mathbb{N}$ , le polynôme $\prod_{k=1}^n (X - z_k^N)$ est à coefficients entiers.

1.

Utiliser la matrice compagnon associée au polynôme $P$ .

2.

Étudier les valeurs propres de la matrice $Q(M)$ lorsque $M$ est la matrice compagnon de $P$ .

3.

Rappeler que le polynôme caractéristique d'une matrice à coefficients dans un anneau $A$ est lui-même à coefficients dans $A$ .

Idées clés

•

Lien entre coefficients d'un polynôme et trace des puissances (via les matrices).

•

Utilisation de la matrice compagnon pour représenter un polynôme.

•

Théorème de l'image spectrale : si $\lambda$ est valeur propre de $M$ , alors $Q(\lambda)$ est valeur propre de $Q(M)$ .

Résolution.

On considère la matrice compagnon $C_P$ associée au polynôme $P$ . Si $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0$ , la matrice compagnon est définie par : $C_P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}$
Puisque les coefficients $a_k$ du polynôme $P$ sont des entiers, tous les coefficients de la matrice $C_P$ sont dans $\mathbb{Z}$ . On a donc bien :
$\boxed{M = C_P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})}$ Un calcul classique de déterminant (par développement suivant la dernière colonne ou par récurrence) montre que le polynôme caractéristique de cette matrice est : $\chi_M(X) = \det(XI_n - M) = P(X)$
Soit $Q \in \mathbb{Z}[X]$ . On considère la matrice $A = Q(M)$ . Puisque $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ et que $Q$ est à coefficients entiers, par stabilité de l'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ par somme et produit, on a : $\boxed{A = Q(M) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})}$
D'après le cours sur la réduction, si $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M) = \{z_1, \dots, z_n\}$ , alors le spectre de $Q(M)$ est :
$\text{Sp}_{\mathbb{C}}(Q(M)) = \{Q(z_1), \dots, Q(z_n)\}$ En effet, si $M$ est trigonalisable dans $\mathbb{C}$ (ce qui est toujours vrai) sous la forme $M = T + N$ avec $T$ diagonale de termes $(z_i)$ , alors $Q(M)$ est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont les $Q(z_i)$ . Ainsi, le polynôme caractéristique de $A$ est : $\chi_A(X) = \prod_{k=1}^n (X - Q(z_k))$ Or, comme $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , son polynôme caractéristique $\chi_A$ est, par définition du déterminant $\det(XI_n - A)$ , un polynôme dont les coefficients sont des combinaisons polynomiales à coefficients entiers des entrées de $A$ . On en conclut que : $\boxed{R(X) = \chi_A(X) \in \mathbb{Z}[X]}$
Pour tout $N \in \mathbb{N}$ , on applique le résultat de la question précédente au polynôme $Q(X) = X^N$ . Ce polynôme $Q$ appartient bien à $\mathbb{Z}[X]$ . Par conséquent, le polynôme : $\prod_{k=1}^n (X - z_k^N)$ est le polynôme caractéristique de la matrice $M^N$ . Comme $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , on a $M^N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ et son polynôme caractéristique est donc à coefficients entiers.

Attention à ne pas oublier l'hypothèse "polynôme unitaire". Si $P$ n'est pas unitaire, la matrice compagnon n'est pas directement définie ainsi et les racines de $P$ ne coïncident pas nécessairement avec les valeurs propres d'une matrice entière simple.