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Matrices entières trigonalisables de trace maximale

TraceDéterminantValeurs propresNilpotenceGLn(Z)Polynôme caractéristiqueRacines rationnellesInégalité triangulaire

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. On considère l'ensemble des matrices M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}) satisfaisant les deux conditions suivantes :

  1. MM est trigonalisable sur Q\mathbb{Q}.
  2. ∣Tr⁡(M)∣≥n|\operatorname{Tr}(M)| \geq n.
Déterminer la forme générale de ces matrices.

1.

Rappeler que les valeurs propres d'une matrice à coefficients entiers sont des entiers algébriques. Si elles sont rationnelles, que peut-on dire ?

2.

Utiliser le fait que M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) pour obtenir une information cruciale sur le produit des valeurs propres.

3.

Exploiter l'inégalité triangulaire sur la trace pour contraindre les valeurs propres.

4.

Conclure sur la structure de MM à l'aide de la définition de la trigonalisabilité.

Idées clés

•

Propriété des racines rationnelles du polynôme caractéristique.

•

Relation entre le déterminant et l'appartenance à GLn(Z)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}).

•

Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire pour des réels de module 1.

Étape 1 : Nature des valeurs propres.

Soit M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}). Son polynôme caractéristique χM\chi_M est un polynôme unitaire à coefficients entiers :

χM(X)=det⁡(XIn−M)∈Z[X]\chi_M(X) = \det(X I_n - M) \in \mathbb{Z}[X]

Puisque MM est trigonalisable sur Q\mathbb{Q}, toutes ses valeurs propres λ1,…,λn\lambda_1, \dots, \lambda_n sont des rationnels.

Or, un résultat classique d'arithmétique stipule que si un rationnel est racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers, alors ce rationnel est un entier.

Ainsi, on en déduit que :

∀i∈{1,…,n},λi∈Z\forall i \in \{1, \dots, n\},   \lambda_i \in \mathbb{Z}

Étape 2 : Utilisation de l'inversibilité dans Z\mathbb{Z.}

Comme M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}), son déterminant det⁡(M)\det(M) et le déterminant de son inverse det⁡(M−1)\det(M^{-1}) sont tous deux des entiers.

Comme det⁡(M)det⁡(M−1)=1\det(M)\det(M^{-1}) = 1, on a nécessairement :

det⁡(M)∈{−1,1}\det(M) \in \{-1, 1\}

Le déterminant étant le produit des valeurs propres, nous avons :

∏i=1nλi=±1\prod_{i=1}^n \lambda_i = \pm 1

Puisque chaque λi\lambda_i est un entier, la seule possibilité est que chaque λi\lambda_i soit égal à 11 ou −1-1. On a donc :

∀i∈{1,…,n},∣λi∣=1\forall i \in \{1, \dots, n\},   |\lambda_i| = 1

Étape 3 : Analyse de la condition sur la trace.

La trace de MM est la somme de ses valeurs propres. D'après l'inégalité triangulaire :

∣Tr⁡(M)∣=∣∑i=1nλi∣≤∑i=1n∣λi∣=n|\operatorname{Tr}(M)| = \left| \sum_{i=1}^n \lambda_i \right| \leq \sum_{i=1}^n |\lambda_i| = n

L'énoncé impose l'hypothèse ∣Tr⁡(M)∣≥n|\operatorname{Tr}(M)| \geq n. Par conséquent, nous avons l'égalité :

∣∑i=1nλi∣=n\left| \sum_{i=1}^n \lambda_i \right| = n

Comme λi∈{1,−1}\lambda_i \in \{1, -1\}, cette égalité ne peut se produire que dans deux cas :

  • Soit tous les λi\lambda_i sont égaux à 11.
  • Soit tous les λi\lambda_i sont égaux à −1-1.

Dans les deux cas, il existe ε∈{−1,1}\varepsilon \in \{-1, 1\} tel que le polynôme caractéristique de MM soit :

χM(X)=(X−ε)n\boxed{ \chi_M(X) = (X - \varepsilon)^n }

Étape 4 : Conclusion sur la forme de MM.

Puisque MM est trigonalisable sur Q\mathbb{Q} et possède une unique valeur propre ε\varepsilon, elle est semblable sur Q\mathbb{Q} à une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée de ε\varepsilon.

On peut donc écrire M=P(εIn+T)P−1M = P (\varepsilon I_n + T) P^{-1} où TT est une matrice triangulaire supérieure stricte (donc nilpotente) à coefficients rationnels.

Cela équivaut à dire que M−εInM - \varepsilon I_n est une matrice nilpotente. Posons N=M−εInN = M - \varepsilon I_n. Comme M∈Mn(Z)M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et In∈Mn(Z)I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}), alors N∈Mn(Z)N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).

Synthèse : Les matrices recherchées sont les matrices de la forme :

M=εIn+N\boxed{ M = \varepsilon I_n + N }
où ε∈{−1,1}\varepsilon \in \{-1, 1\} et N∈Mn(Z)N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) est une matrice nilpotente.

Réciproquement, une telle matrice est bien dans Mn(Z)\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}). Son unique valeur propre est ε\varepsilon, donc son déterminant est εn=±1\varepsilon^n = \pm 1, ce qui assure M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}). Elle est trigonalisable sur Q\mathbb{Q} car son polynôme caractéristique (X−ε)n(X-\varepsilon)^n est scindé sur Q\mathbb{Q}. Enfin, ∣Tr⁡(M)∣=∣nε∣=n|\operatorname{Tr}(M)| = |n\varepsilon| = n, donc la condition est vérifiée.

Ne pas oublier de justifier que les valeurs propres rationnelles d'un polynôme unitaire à coefficients entiers sont nécessairement entières. C'est un point clé de l'argumentation.