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Matrices entières et diagonalisabilité

GLn(Z)déterminantpolynôme caractéristiqueracines rationnellesFormule de la comatriceIrréductibilité dans Q[X]Théorème des racines rationnelles

On note Mn(Z)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) l'ensemble des matrices de taille n×nn \times n à coefficients entiers. On désigne par GLn(Z)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}) l'ensemble des matrices M∈Mn(Z)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) telles qu'il existe N∈Mn(Z)N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) vérifiant MN=NM=InMN = NM = I_n.

  1. Caractériser les matrices de GLn(Z)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}) à l'aide de leur déterminant.
  2. Soit MM une matrice appartenant à GL3(Z)\mathrm{GL}_{3}(\mathbb{Z}). On suppose que ni 11 ni −1-1 ne sont des valeurs propres de MM. Démontrer que la matrice MM est diagonalisable sur C\mathbb{C}.

1.

Pour la question 1, utiliser la formule de la matrice complémentaire (comatrice) pour exprimer l'inverse.

2.

Pour la question 2, s'intéresser au polynôme caractéristique χM\chi_M dans Z[X]\mathbb{Z}[X].

3.

Rappeler qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement un entier.

4.

Utiliser l'irréductibilité sur Q\mathbb{Q} pour prouver que les racines complexes sont simples.

Idées clés

•

Lien entre inversibilité dans Mn(Z)\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et déterminant.

•

Propriétés des racines des polynômes de Z[X]\mathbb{Z}[X].

•

Critère de diagonalisabilité : racines du polynôme caractéristique.

•

Un polynôme de degré 3 sans racine est irréductible.

Résolution.

  1. Soit M∈Mn(Z)M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}). Si M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}), il existe N∈Mn(Z)N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tel que MN=InMN = I_n. En passant au déterminant, on obtient :
    det⁡(M)det⁡(N)=det⁡(In)=1\det(M) \det(N) = \det(I_n) = 1
    Comme MM et NN sont à coefficients entiers, leurs déterminants sont des entiers. Les seuls diviseurs de 11 dans Z\mathbb{Z} sont 11 et −1-1. Ainsi :
    det⁡(M)∈{1,−1}\boxed{\det(M) \in \{1, -1\}}
    Réciproquement, supposons que det⁡(M)=±1\det(M) = \pm 1. D'après la formule de Laplace, on sait que :
    M⋅com(M)T=det⁡(M)InM \cdot \text{com}(M)^T = \det(M) I_n
    Puisque M∈Mn(Z)M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}), la comatrice com(M)\text{com}(M) est également à coefficients entiers. L'inverse de MM est donné par :
    M−1=1det⁡(M)com(M)TM^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{com}(M)^T
    Comme 1det⁡(M)=det⁡(M)∈{1,−1}\frac{1}{\det(M)} = \det(M) \in \{1, -1\}, tous les coefficients de M−1M^{-1} sont des entiers. Donc M−1∈Mn(Z)M^{-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}), ce qui prouve que M∈GLn(Z)M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}).

  2. Soit M∈GL3(Z)M \in \mathrm{GL}_3(\mathbb{Z}). Son polynôme caractéristique χM\chi_M est de la forme :
    χM(X)=X3−Tr(M)X2+cX−det⁡(M)\chi_M(X) = X^3 - \text{Tr}(M)X^2 + cX - \det(M)
    Comme MM est à coefficients entiers, Tr(M)\text{Tr}(M) et cc sont des entiers. De plus, d'après la question précédente, det⁡(M)∈{1,−1}\det(M) \in \{1, -1\}. Supposons que χM\chi_M possède une racine rationnelle r=pqr = \frac{p}{q} sous forme irréductible. Un résultat classique sur les polynômes unitaires à coefficients entiers affirme que rr est alors un entier qui divise le terme constant det⁡(M)\det(M). Les seuls diviseurs de 11 ou −1-1 dans Z\mathbb{Z} sont 11 et −1-1. Ainsi, les seules racines rationnelles possibles de χM\chi_M sont 11 et −1-1. Par hypothèse, 11 et −1-1 ne sont pas valeurs propres de MM. On en déduit que χM\chi_M n'admet aucune racine dans Q\mathbb{Q}. Puisque χM\chi_M est de degré 3 et n'a pas de racine dans Q\mathbb{Q}, il est irréductible sur Q[X]\mathbb{Q}[X]. Dans un corps de caractéristique nulle comme Q\mathbb{Q}, tout polynôme irréductible est à racines simples sur sa clôture algébrique C\mathbb{C}. En effet, si χM\chi_M avait une racine multiple dans C\mathbb{C}, alors pgcd(χM,χM′)\text{pgcd}(\chi_M, \chi_M') ne serait pas constant. Mais comme χM\chi_M est irréductible, son seul diviseur non constant est lui-même, ce qui impliquerait que χM\chi_M divise χM′\chi_M', ce qui est impossible pour des raisons de degré. On conclut que χM\chi_M possède trois racines complexes distinctes. Une matrice de M3(C)\mathcal{M}_3(\mathbb{C}) ayant trois valeurs propres distinctes est diagonalisable.
    M est diagonalisable sur C\boxed{M \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}}

Attention à ne pas conclure trop vite que MM est diagonalisable sur R\mathbb{R}. Les racines d'un polynôme de degré 3 irréductible sur Q\mathbb{Q} peuvent être complexes non réelles. L'exercice demande la diagonalisabilité sur C\mathbb{C}.