Équation A^p = I dans M_p(Q)

Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose de déterminer l'ensemble des matrices $A$ appartenant à $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{Q})$ qui satisfont la relation :

A^{p} = I_{p}

où

I_p

désigne la matrice identité de taille

p \times p

.

1.

Utiliser le polynôme annulateur $P(X) = X^p - 1$ et le décomposer en facteurs irréductibles dans $\mathbb{Q}[X]$ .

2.

Rappeler ou démontrer le critère d'Eisenstein appliqué au polynôme cyclotomic $\Phi_p(X) = \sum_{k=0}^{p-1} X^k$ .

3.

Faire le lien entre le polynôme minimal $\mu_A$ et le polynôme caractéristique $\chi_A$ en utilisant des arguments de degré.

4.

Distinguer éventuellement le cas $p=2$ des cas où $p$ est un nombre premier impair.

Idées clés

•

Polynôme annulateur et minimal ( $\mu_A \mid X^p-1$ ).

•

Irréductibilité du polynôme cyclotomiqe $\Phi_p$ sur $\mathbb{Q}$ via le critère d'Eisenstein.

•

Relation de degré : $\deg(\chi_A) = p$ .

•

Théorème de décomposition des noyaux et réduction par blocs.

Résolution.

1. Analyse des polynômes annulateurs. Soit $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{Q})$ telle que $A^p = I_p$ . Le polynôme $P(X) = X^p - 1$ est un polynôme annulateur de $A$ . Dans $\mathbb{Q}[X]$ , ce polynôme se décompose de la manière suivante :

X^p - 1 = (X - 1) \Phi_p(X)   \text{avec}   \Phi_p(X) = \sum_{k=0}^{p-1} X^k

Le polynôme $\Phi_p$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ . Pour le justifier, on considère $Q(X) = \Phi_p(X+1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = \sum_{k=1}^p \binom{p}{k} X^{k-1}$ . Tous les coefficients de $Q$ sauf le dominant sont divisibles par $p$ , et le terme constant est $p$ (non divisible par $p^2$ ). D'après le critère d'Eisenstein, $Q$ est irréductible, donc $\Phi_p$ l'est aussi.

2. Détermination du polynôme minimal. Le polynôme minimal $\mu_A$ de $A$ divise $X^p - 1$ . Comme $\mathbb{Q}[X]$ est un anneau factoriel et que $X-1$ et $\Phi_p$ sont irréductibles et distincts (car $\Phi_p(1) = p \neq 0$ ), les diviseurs unitaires de $X^p-1$ sont :

1,   X-1,   \Phi_p(X),   X^p-1

3. Lien avec le polynôme caractéristique. On sait que $\chi_A$ est de degré $p$ et que $\mu_A$ et $\chi_A$ ont les mêmes racines dans $\mathbb{C}$ . De plus, chaque facteur irréductible de $\chi_A$ dans $\mathbb{Q}[X]$ doit diviser $\mu_A$ . Ainsi, $\chi_A$ est de la forme $(X-1)^a (\Phi_p(X))^b$ avec $a, b \in \mathbb{N}$ . La condition sur le degré impose :

\boxed{ a + b(p-1) = p }

4. Étude des cas selon $p$ .

Premier cas : $p > 2$ . Comme $p$ est premier et $p > 2$ , alors $p-1 > 1$ . Les seules solutions entières de $a + b(p-1) = p$ sont :

$b = 0$ , ce qui implique $a = p$ . Alors $\chi_A = (X-1)^p$ . Comme $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ (annulée par $X^p-1$ à racines simples), on en déduit $\mu_A = X-1$ , donc $\boxed{A = I_p}$ .
$b = 1$ , ce qui implique $a = 1$ . Alors $\chi_A = (X-1)\Phi_p(X) = X^p - 1$ . Dans ce cas, $A$ est semblable sur $\mathbb{Q}$ à la matrice compagnon $C(X^p-1)$ : $\boxed{ A \sim \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & 1 1 & \ddots & \vdots & 0 \vdots & \ddots & 0 & \vdots 0 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix} }$

Deuxième cas : $p = 2$ . L'équation devient $a + b(1) = 2$ . Les solutions sont :

$(a,b) = (2,0) \implies \chi_A = (X-1)^2 \implies A = I_2$ .
$(a,b) = (0,2) \implies \chi_A = (X+1)^2 \implies A = -I_2$ .
$(a,b) = (1,1) \implies \chi_A = X^2-1 \implies A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ ou $\text{diag}(1, -1)$ .

Conclusion. Les matrices solutions sont celles semblables (dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{Q})$ ) à :

$I_p$ .
La matrice compagnon du polynôme $X^p-1$ .
Uniquement si $p=2$ : la matrice $-I_2$ .

L'erreur classique est d'oublier que l'irréductibilité dépend du corps de base. Sur $\mathbb{C}$ , il y aurait beaucoup plus de classes de similitude. Ici, l'irréductibilité de $\Phi_p$ sur $\mathbb{Q}$ restreint drastiquement les formes possibles du polynôme caractéristique.