Inversibilité dans l'anneau des matrices entières

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z})$ une matrice à coefficients entiers.

Démontrer que $M$ est inversible dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z})$ (c'est-à-dire qu'il existe une matrice $N \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z})$ telle que $MN = NM = I_n$ ) si et seulement si son déterminant vérifie :

\det(M) \in \{1, -1\}

1.

Pour le sens direct, utilisez la propriété du déterminant d'un produit de matrices et exploitez le fait que le déterminant d'une matrice à coefficients entiers est lui-même un entier.

2.

Pour le sens réciproque, exprimez l'inverse de $M$ à l'aide de la transposée de sa comatrice. Observez la nature des coefficients de cette dernière.

Idées clés

•

Morphisme de déterminant : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ .

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Anneau des entiers : les seuls éléments inversibles de $(\mathbb{Z}, \times)$ sont $1$ et $-1$ .

•

Formule de la comatrice pour l'inversion explicite.

Résolution.

Considérons une matrice $M \in \mathrm{M}_n(\mathbb{Z})$ . Notons que le déterminant de $M$ est une somme finie de produits de ses coefficients.

Puisque les coefficients de $M$ sont tous dans $\mathbb{Z}$ , par stabilité de $\mathbb{Z}$ pour l'addition et la multiplication, on a :

\det(M) \in \mathbb{Z}

1. Sens direct ( $\Rightarrow$ ) :

Supposons que $M$ possède un inverse $N \in \mathrm{M}_n(\mathbb{Z})$ . Par définition, nous avons l'égalité :

MN = I_n

En appliquant le déterminant à cette égalité, nous obtenons :

\det(MN) = \det(I_n)

D'après le théorème de multiplicativité du déterminant, il vient :

\det(M) \times \det(N) = 1

Comme $M$ et $N$ sont à coefficients entiers, $\det(M)$ et $\det(N)$ sont deux nombres entiers. Or, les seuls entiers dont le produit vaut $1$ sont $1$ et $-1$ .

On en déduit donc le résultat nécessaire :

\boxed{\det(M) \in \{1, -1\}}

2. Sens réciproque ( $\Leftarrow$ ) :

Supposons maintenant que $\det(M) \in \{1, -1\}$ . Puisque son déterminant est non nul, la matrice $M$ est inversible dans $\mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ (ou $\mathrm{M}_n(\mathbb{Q})$ ).

L'expression générale de l'inverse d'une matrice fait intervenir sa comatrice :

M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}   {}^t \text{com}(M)

Analysons les termes de cette formule :

Chaque coefficient de la comatrice $\text{com}(M)$ est un cofacteur de $M$ , c'est-à-dire (au signe près) le déterminant d'une sous-matrice de $M$ de taille $(n-1) \times (n-1)$ .
Comme $M$ est à coefficients entiers, toutes ses sous-matrices le sont aussi, et leurs déterminants sont donc des entiers.

Ainsi, $\text{com}(M) \in \mathrm{M}_n(\mathbb{Z})$ , et par conséquent sa transposée également :

{}^t \text{com}(M) \in \mathrm{M}_n(\mathbb{Z})

Enfin, puisque $\det(M)$ vaut soit $1$ , soit $-1$ , le facteur $\frac{1}{\det(M)}$ est égal à $\det(M)$ lui-même (qui appartient à $\mathbb{Z}$ ).

Par produit d'un scalaire entier et d'une matrice à coefficients entiers, on conclut :

\boxed{M^{-1} \in \mathrm{M}_n(\mathbb{Z})}

Attention à ne pas oublier de justifier que $\det(M) \in \mathbb{Z}$ . Bien que cela semble évident, c'est l'argument qui permet de restreindre les valeurs possibles du déterminant aux unités de $\mathbb{Z}$ .