Inversibilité et nilpotence dans l'anneau entier

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ que l'on suppose triangulaire supérieure.

On fait l'hypothèse que tous les coefficients diagonaux de $A$ sont égaux à $1$ .

Démontrer, sans avoir recours à la théorie des déterminants (ni à la formule de la co-matrice), que la matrice $A$ est inversible dans l'anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ .

1.

Décomposer la matrice $A$ sous la forme $I_n + N$ .

2.

Étudier la nature de la matrice $N$ ainsi introduite, notamment ses coefficients diagonaux.

3.

Utiliser une identité polynomiale classique liant $(1+x)$ et $(1 - (-x)^k)$ .

Idées clés

•

Décomposition en partie identité et partie strictement triangulaire.

•

Nilpotence des matrices strictement triangulaires.

•

Utilisation de la formule de la progression géométrique pour les endomorphismes nilpotents.

Résolution.

Posons la matrice $N$ définie par :

N = A - I_n

Par hypothèse, $A$ est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux valent $1$ .

Il en résulte que $N$ est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont tous nuls :

\forall i \in \{1, \dots, n\},   N_{i,i} = A_{i,i} - 1 = 1 - 1 = 0

Une telle matrice est dite strictement triangulaire supérieure.

D'après le cours sur la nilpotence, toute matrice strictement triangulaire supérieure de taille $n$ est nilpotente d'indice au plus $n$ . Nous avons donc :

\boxed{N^n = 0_n}

Cherchons maintenant à exprimer l'inverse de $A = I_n + N$ .

Considérons l'identité polynomiale suivante, valable pour toute matrice $M$ et tout entier $p \in \mathbb{N}^*$ :

(I_n + M) \sum_{k=0}^{p-1} (-M)^k = I_n - (-M)^p

Appliquons cette relation à la matrice $N$ avec $p = n$ :

(I_n + N) \sum_{k=0}^{n-1} (-N)^k = I_n - (-N)^n

Comme $N^n = 0_n$ , le terme de droite se simplifie et nous obtenons :

(I_n + N) \left( \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k N^k \right) = I_n

Ceci prouve que la matrice $A = I_n + N$ est inversible dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ et que son inverse est :

\boxed{A^{-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k N^k}

Il reste à justifier que cette matrice appartient à $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ .

Par construction, $N = A - I_n$ . Comme $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ et $I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , on a $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ .
L'ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ est un sous-anneau de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ . Il est donc stable par produit.
Ainsi, pour tout $k \in \{0, \dots, n-1\}$ , $N^k$ appartient à $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ .
Finalement, $A^{-1}$ est une combinaison linéaire finie à coefficients entiers de matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ .

On en conclut que :

\boxed{A^{-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})}

L'erreur classique serait de dire que toute matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ inversible dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ possède un inverse dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ . C'est faux : par exemple $2I_n$ a pour inverse $\frac{1}{2}I_n \notin \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ . La condition nécessaire et suffisante est que le déterminant soit égal à $1$ ou $-1$ , ce qui est bien le cas ici (le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux). Mais l'énoncé imposait de se passer du déterminant.