Stabilité de l'anneau des entiers algébriques

Soit $\mathbb{A}$ un sous-anneau de $\mathbb{C}$ . On note $\overline{\mathbb{A}}$ l'ensemble des nombres complexes qui sont racines d'un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{A}$ .

Soit $\alpha \in \mathbb{C}$ . Montrer que $\alpha \in \overline{\mathbb{A}}$ si et seulement s'il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{A})$ telle que $\alpha$ soit une valeur propre de $M$ .
En utilisant les résultats sur l'endomorphisme $M \mapsto AM+MB$ , démontrer que si $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{A}}$ , alors $\alpha + \beta$ et $\alpha \beta$ appartiennent également à $\overline{\mathbb{A}}$ .
Conclure que $\overline{\mathbb{A}}$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$ .

1.

Pour le 1, utiliser la matrice compagnon d'un polynôme annulateur.

2.

Pour le 2, si $A$ et $B$ sont des matrices dont $\alpha$ et $\beta$ sont valeurs propres, construire une matrice dont les valeurs propres sont les sommes et les produits.

Idées clés

•

Lien entre racines de polynômes et valeurs propres (matrice compagnon).

•

Construction de matrices par produit de Kronecker (ou via les opérateurs $L_A$ et $R_B$ ).

•

Un nombre est dans $\overline{\mathbb{A}}$ ssi il est valeur propre d'une matrice à coefficients dans $\mathbb{A}$ .

Résolution.

$\implies$ Soit $\alpha \in \overline{\mathbb{A}}$ . Il existe $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0 \in \mathbb{A}[X]$ tel que $P(\alpha) = 0$ . La matrice compagnon $C_P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{A})$ a pour polynôme caractéristique $P$ . Ainsi $\alpha$ est valeur propre de $C_P$ . $\impliedby$ Si $\alpha$ est valeur propre de $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{A})$ , alors $\alpha$ est racine de $\chi_M(X) = \det(XI_n - M)$ . Comme $M$ est à coefficients dans $\mathbb{A}$ , $\chi_M$ est un polynôme unitaire de $\mathbb{A}[X]$ . Donc $\alpha \in \overline{\mathbb{A}}$ .
Soient $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{A}}$ . Il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{A})$ et $B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{A})$ telles que $A X = \alpha X$ ( $X \neq 0$ ) et $B^T Y = \beta Y$ ( $Y \neq 0$ ). Considérons l'opérateur $\Phi : M \mapsto AM + MB$ sur $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$ . D'après l'exercice précédent, $\Phi$ admet pour valeur propre $\alpha + \beta$ associée au vecteur propre $X Y^T$ . La matrice de $\Phi$ dans la base canonique $(E_{i,j})$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$ est à coefficients dans $\mathbb{A}$ (car $A$ et $B$ le sont). Ainsi $\alpha + \beta$ est valeur propre d'une matrice à coefficients dans $\mathbb{A}$ , d'où $\alpha + \beta \in \overline{\mathbb{A}}$ . De même pour $\Psi : M \mapsto AMB$ , $\alpha \beta$ est valeur propre de l'opérateur $\Psi$ . La matrice de $\Psi$ est également à coefficients dans $\mathbb{A}$ , d'où $\alpha \beta \in \overline{\mathbb{A}}$ .
L'ensemble $\overline{\mathbb{A}}$ contient $1$ (racine de $X-1$ ) et $0$ . Si $\alpha \in \overline{\mathbb{A}}$ , $-\alpha$ aussi (racine de $P(-X)$ ou $(-1)^n P(-X)$ ). D'après la question 2, $\overline{\mathbb{A}}$ est stable par addition et multiplication. $\boxed{ \overline{\mathbb{A}} \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{C} }$

L'unitarité du polynôme est cruciale. Si le polynôme n'est pas unitaire, on parle de nombres algébriques, mais pas "d'entiers" sur l'anneau $\mathbb{A}$ .