Similitude matricielle sur Q et Z

$et$ \mathbb{Z}$}

On considère les deux matrices suivantes de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 4 & 3 \end{pmatrix}   \text{et}   B = \begin{pmatrix} 5 & 0 0 & 1 \end{pmatrix}

Démontrer que les matrices $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Q})$ .
Montrer qu'elles ne sont pas semblables dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ , c'est-à-dire qu'il n'existe pas de matrice $P \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ telle que $\det(P) \in \{-1, 1\}$ et $B = P^{-1}AP$ .

1.

Pour la question 1, comparez les polynômes caractéristiques des deux matrices et vérifiez s'ils sont scindés à racines simples sur $\mathbb{Q}$ .

2.

Pour la question 2, cherchez une matrice $P = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ à coefficients entiers satisfaisant la relation $AP = PB$ . Calculez ensuite son déterminant et montrez qu'il ne peut pas être égal à $\pm 1$ .

Idées clés

•

Deux matrices sont semblables sur un corps si elles sont semblables à une même matrice diagonale.

•

La similitude sur $\mathbb{Z}$ impose une condition très restrictive sur le déterminant de la matrice de passage : $\det P \in \mathbb{Z}^\times = \{-1, 1\}$ .

Résolution.

Similitude dans $\mathcal{M$ _2(\mathbb{Q}) $M_{2} (Q)$ :} Calculons le polynôme caractéristique de la matrice $A$ : $\chi_A(X) = \det(XI - A) = \begin{vmatrix} X-3 & -1 -4 & X-3 \end{vmatrix} = (X-3)^2 - 4$ En développant, on obtient : $\chi_A(X) = X^2 - 6X + 9 - 4 = \boxed{X^2 - 6X + 5}$ Les racines de ce polynôme sont immédiatement identifiables (le produit vaut 5 et la somme vaut 6) : $\chi_A(X) = (X-1)(X-5)$ Le polynôme caractéristique de $B$ est également : $\chi_B(X) = (X-5)(X-1)$ Les matrices $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique, lequel est scindé à racines simples sur $\mathbb{Q}$ (les racines 1 et 5 appartiennent bien à $\mathbb{Q}$ ). Par conséquent, $A$ et $B$ sont toutes deux semblables dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ à la matrice diagonale $D = \text{diag}(5, 1)$ . Par transitivité de la relation de similitude : $\boxed{A \sim_{\mathbb{Q}} B}$
Non-similitude dans $\mathcal{M$ _2(\mathbb{Z})M2(Z) :} Supposons qu'il existe une matrice $P = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ $P = (a c b d) \in M_{2} (Z)$ telle que $AP = PB$ $A P = PB$ avec $P$ $P$ inversible dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ $M_{2} (Z)$ . La condition $P \in GL_2(\mathbb{Z})$ $P \in G L_{2} (Z)$ équivaut à $\det(P) \in \{-1, 1\}$ $det (P) \in {- 1, 1}$ . Développons l'égalité $AP = PB$ $A P = PB$ :
$\begin{pmatrix} 3 & 1 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 0 & 1 \end{pmatrix}$
Ce qui nous donne le système d'équations suivant :
$\begin{pmatrix} 3a+c & 3b+d 4a+3c & 4b+3d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5a & b 5c & d \end{pmatrix}$
On en déduit les relations sur les coefficients :
- $3a + c = 5a \implies \boxed{c = 2a}$
- $3b + d = b \implies \boxed{d = -2b}$
Les deux autres équations ( $4a+3c=5c$ $4 a + 3 c = 5 c$ et $4b+3d=d$ $4 b + 3 d = d$ ) sont alors automatiquement vérifiées par ces expressions. La matrice $P$ $P$ doit donc être de la forme :
$P = \begin{pmatrix} a & b 2a & -2b \end{pmatrix}$
Calculons le déterminant de cette matrice $P$ $P$ :
$\det(P) = a(-2b) - (2a)b = -2ab - 2ab = \boxed{-4ab}$
Comme $a$ $a$ et $b$ $b$ sont des entiers (car $P \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ $P \in M_{2} (Z)$ ), le déterminant de $P$ $P$ est nécessairement un multiple de 4. Or, pour que $P$ $P$ appartienne à $GL_2(\mathbb{Z})$ $G L_{2} (Z)$ , il faudrait que :
$-4ab = 1 \text{ou} -4ab = -1$
Aucune de ces deux équations n'admet de solution dans $\mathbb{Z}$ $Z$ car 1 et -1 ne sont pas divisibles par 4. Conclusion : Il n'existe pas de matrice de passage dans $GL_2(\mathbb{Z})$ $G L_{2} (Z)$ . Les matrices $A$ $A$ et $B$ $B$ ne sont pas semblables sur $\mathbb{Z}$ $Z$ .

Attention à ne pas oublier que la condition d'inversibilité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ est $\det P = \pm 1$ , et non simplement $\det P \neq 0$ . Une matrice à coefficients entiers peut avoir un déterminant non nul sans que son inverse soit à coefficients entiers (ex: $\text{diag}(2, 2)$ ).