Réduction des représentations de $\mathfrak{S}_3$

_3$}

Soit $V$ un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ . On considère un morphisme de groupes $\Phi : \mathfrak{S}_3 \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ . On note $\sigma = (1,2)$ et $\tau = (1,2,3)$ .

Justifier que pour tout $g \in \mathfrak{S}_3$ , l'endomorphisme $\Phi(g)$ est diagonalisable.
Expliquer pourquoi la connaissance de $S = \Phi(\sigma)$ et $R = \Phi(\tau)$ suffit à déterminer entièrement le morphisme $\Phi$ .
Cas de la dimension 1 :
1. Déterminer tous les morphismes de groupes de $\mathfrak{S}_3$ dans $\mathbb{C}^*$ .
2. Généralisation : quels sont les morphismes de groupes de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathbb{C}^*$ ?
On pose $S = \begin{pmatrix} 1 & -1 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Vérifier que le couple $(S,R)$ définit un morphisme de groupes $\Phi : \mathfrak{S}_3 \rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ .
On revient au cas général. Soit $x$ un vecteur propre de $R$ associé à une valeur propre $\lambda$ . Étudier l'action de $S$ sur $x$ et montrer que $Sx$ est également un vecteur propre de $R$ dont on précisera la valeur propre.
Montrer que $V$ se décompose en une somme directe de sous-espaces $F_i$ stables par tous les $\Phi(g)$ , où chaque $F_i$ est de dimension 1 ou 2. En déduire que $S$ et $R$ sont simultanément diagonalisables par blocs, avec des blocs de taille 1 ou 2.

1.

Utiliser des polynômes annulateurs scindés à racines simples pour la diagonalisabilité.

2.

Se rappeler que $\mathfrak{S}_3$ est engendré par les transpositions $(1,2)$ et les cycles $(1,2,3)$ .

3.

Pour la question 5, utiliser la relation $R\sigma = \sigma R^{-1}$ (ou $SRS = R^2$ ) qui découle de la structure de groupe.

4.

Pour la question 6, considérer séparément les sous-espaces propres de $R$ associés à 1 et à $\{j, j^2\}$ .

Idées clés

•

Utilisation de polynômes annulateurs de type $X^k - 1$ .

•

Relation de structure du groupe diédral $D_3 \cong \mathfrak{S}_3$ : $SRS = R^{-1}$ .

•

Stabilité des sous-espaces et réduction par blocs.

Résolution.

Soit $g \in \mathfrak{S}_3$ . L'ordre de $g$ est un diviseur de $|\mathfrak{S}_3| = 6$ . Ainsi, il existe $k \in \{1, 2, 3, 6\}$ tel que $g^k = \text{id}$ . On en déduit que l'endomorphisme $u = \Phi(g)$ vérifie l'équation : $u^k - \text{id}_V = 0$ Le polynôme $P(X) = X^k - 1$ est un polynôme annulateur de $u$ . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ (les racines $k$ -ièmes de l'unité). $\boxed{\Phi(g) \text{ est donc diagonalisable.}}$
Le groupe $\mathfrak{S}_3$ est engendré par la transposition $\sigma = (1,2)$ et le 3-cycle $\tau = (1,2,3)$ . En effet, les puissances de $\tau$ et leurs produits par $\sigma$ épuisent les 6 éléments du groupe : $\{id, \tau, \tau^2, \sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}$ . Comme $\Phi$ est un morphisme, la valeur de $\Phi(g)$ pour tout $g \in \mathfrak{S}_3$ s'exprime comme produit des matrices $S$ et $R$ .
1. Soit $\chi : \mathfrak{S}_3 \rightarrow \mathbb{C}^*$ un morphisme. Comme $\sigma^2 = id$ , on a $\chi(\sigma)^2 = 1$ , donc $\chi(\sigma) \in \{1, -1\}$ . De même, $\tau^3 = id \implies \chi(\tau)^3 = 1$ . Or, dans $\mathfrak{S}_3$ , $\sigma \tau \sigma^{-1} = \tau^{-1}$ . En appliquant $\chi$ , on obtient $\chi(\sigma)\chi(\tau)\chi(\sigma)^{-1} = \chi(\tau)^{-1}$ , soit $\chi(\tau) = \chi(\tau)^{-1}$ , d'où $\chi(\tau)^2 = 1$ . Comme $\chi(\tau)^3 = 1$ et $\chi(\tau)^2 = 1$ , on en déduit $\chi(\tau) = 1$ . Les deux possibilités sont : - $\chi(g) = 1$ pour tout $g$ (représentation triviale). - $\chi(\sigma) = -1$ et $\chi(\tau) = 1$ . Cela correspond à la signature $\varepsilon$ car $\varepsilon(\sigma) = -1$ et $\varepsilon(\tau) = 1$ . $\boxed{\text{Les morphismes sont l'identité } g \mapsto 1 \text{ et la signature } \varepsilon.}$
2. Pour $\mathfrak{S}_n$ ( $n \geq 2$ ), le groupe est engendré par les transpositions. Toutes les transpositions étant conjuguées, elles ont la même image par $\chi$ . Comme pour $\mathfrak{S}_3$ , l'image d'une transposition est dans $\{1, -1\}$ . On retrouve uniquement le morphisme trivial et la signature.
On vérifie $S^2 = I_2$ , $R^3 = I_2$ et $SRS = R^{-1}$ . $S^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 \end{pmatrix}$ . $R^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix}$ . Puis $R^3 = R \cdot R^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Enfin, $SRS = \begin{pmatrix} 1 & -1 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix} = R^2 = R^{-1}$ . $\boxed{\text{Les relations de structure de } \mathfrak{S}_3 \text{ sont vérifiées.}}$
Soit $x \in V$ tel que $Rx = \lambda x$ . On sait que $\lambda^3 = 1$ , donc $\lambda \in \{1, j, j^2\}$ . D'après la relation $SRS = R^{-1}$ , on a $RS = SR^{-1}$ . Alors : $R(Sx) = (RS)x = (SR^{-1})x = S(R^{-1}x)$ Comme $R^{-1} = R^2$ , si $x$ est vecteur propre pour $\lambda$ , alors $R^2x = \lambda^2 x$ . Donc : $R(Sx) = S(\lambda^2 x) = \lambda^2 (Sx)$ $\boxed{Sx \text{ est un vecteur propre de } R \text{ associé à la valeur propre } \lambda^2 = \bar{\lambda}.}$
$R$ étant diagonalisable, $V = E_1(R) \oplus E_j(R) \oplus E_{j^2}(R)$ . Cas 1 : Étude de $E_1(R)$ . Si $x \in E_1(R)$ , alors d'après la question 5, $Sx \in E_{1^2}(R) = E_1(R)$ . Le sous-espace $E_1(R)$ est stable par $S$ et par $R$ (trivialement). Comme $S^2 = I$ , $S$ induit sur $E_1(R)$ une symétrie, qui est diagonalisable avec des valeurs propres $\pm 1$ . On peut donc décomposer $E_1(R)$ en droites stables par $R$ et $S$ (blocs de taille 1). Cas 2 : Étude de $E_j(R) \oplus E_{j^2$ (R) $E_{j} (R) \oplus E_{j^{2}} (R)$ .} Soit $x \in E_j(R)$ non nul. Alors $y = Sx \in E_{j^2}(R)$ . Comme $j \neq j^2$ , la famille $(x, y)$ est libre. L'espace $F = \text{Vect}(x, y)$ est stable par $R$ (car $x, y$ sont vecteurs propres) et stable par $S$ (car $Sx=y$ et $Sy=S^2x=x$ ). Dans la base $(x, y)$ , les matrices sont : $\text{Mat}_B(R_{|F}) = \begin{pmatrix} j & 0 0 & j^2 \end{pmatrix}, \text{Mat}_B(S_{|F}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ Ce sont des blocs de taille 2. Par récurrence ou décomposition de $E_j(R)$ , on obtient la structure voulue. $\boxed{V = \bigoplus F_i \text{ avec } \dim F_i \in \{1, 2\}.}$

Ne pas oublier que $R$ n'est pas forcément diagonalisable dans $\mathbb{R}$ . Ici, nous travaillons sur $\mathbb{C}$ , ce qui garantit l'existence des valeurs propres $j$ et $j^2$ . Si l'énoncé était sur $\mathbb{R}$ , les blocs de taille 2 correspondraient à des matrices de rotation.