Groupe de matrices sur un corps fini

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On considère le corps fini $\mathbb{K} = \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ . Soit la matrice $A$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Justifier rapidement que $A^{13} = -I_3$ . En déduire que $A$ est d'ordre 26 dans le groupe linéaire $GL_3(\mathbb{K})$ .
Soit $G = \langle A \rangle$ le sous-groupe de $GL_3(\mathbb{K})$ engendré par $A$ . On note $V = \text{Vect}(I_3, A, A^2)$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ engendré par les premières puissances de $A$ . Démontrer l'égalité d'ensembles $V = G \cup \{0\}$ .
On définit $W = \text{Vect}(I_3, A)$ comme le plan vectoriel engendré par l'identité et $A$ . Montrer que pour tout élément $M \in G$ , il existe deux matrices non nulles $N$ et $P$ appartenant à $W$ telles que $M = N P^{-1}$ .
Soit $H = \langle A^2 \rangle$ $H = ⟨ A^{2} ⟩$ le sous-groupe engendré par $A^2$ $A^{2}$ .
1. Montrer que $H$ est un groupe cyclique d'ordre 13, isomorphe à $\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z}$ .
2. Déterminer le cardinal de l'intersection $H \cap W$ .

1.

Pour la question 1, calculer le polynôme caractéristique de $A$ et utiliser le fait que $\mathbb{K}[A]$ est un corps.

2.

Pour la question 2, identifier la structure de l'algèbre $\mathbb{K}[A]$ en montrant que le polynôme caractéristique est irréductible.

3.

Pour la question 3, utiliser le fait que tout élément de $\mathbb{K}[A]$ peut s'écrire comme un quotient de polynômes de bas degré (analogie avec les approximations de Padé ou simplement l'étude de la dimension).

4.

Pour la question 4, utiliser le morphisme de Frobenius en caractéristique 3 pour calculer les puissances 13-ièmes.

Idées clés

•

Utilisation du polynôme caractéristique et du théorème de Cayley-Hamilton.

•

Structure de corps de l'algèbre engendrée par une matrice dont le polynôme minimal est irréductible.

•

Propriétés du Frobenius en caractéristique $p$ ( $x^p + y^p = (x+y)^p$ ).

Résolution.

Calculons le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI_3 - A)$ : $\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & 0 & 1 -1 & X & -1 0 & -1 & X \end{vmatrix} = X(X^2 - 1) + 1(-(-1)) = X^3 - X + 1$ Testons les valeurs de $\mathbb{K} = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ : $\chi_A(0)=1$ , $\chi_A(1)=1-1+1=1$ et $\chi_A(2)=8-2+1=7 \equiv 1 \pmod 3$ . Le polynôme $\chi_A$ n'a pas de racine dans $\mathbb{K}$ et est de degré 3, il est donc irréductible sur $\mathbb{K}$ . Par Cayley-Hamilton, $A^3 - A + I = 0$ , donc $A^3 = A - I$ . En caractéristique 3, on a : $A^9 = (A^3)^3 = (A-I)^3 = A^3 - I^3 = (A-I) - I = A - 2I = A + I$ D'où : $A^{13} = A^9 \cdot A^3 \cdot A = (A+I)(A-I)A = (A^2 - I)A = A^3 - A = (A-I) - A = -I$ $\boxed{A^{13} = -I_3}$ Puisque $A^{13} = -I$ , on a $A^{26} = I$ . L'ordre de $A$ divise 26. Comme $A^{13} = -I \neq I$ et $A^2 \neq I$ (car $\chi_A$ est de degré 3), l'ordre ne peut être que 26. $\boxed{\text{ord}(A) = 26}$
Puisque $\chi_A$ est irréductible, l'algèbre $V = \mathbb{K}[A]$ est un corps extension de $\mathbb{K}$ de degré 3. Ce corps possède $3^3 = 27$ éléments. Le groupe des unités $V^*$ est donc un groupe cyclique d'ordre $27-1=26$ . Comme $A \in V^*$ et que l'ordre de $A$ est 26, $A$ engendre $V^*$ . Ainsi, $G = \langle A \rangle = V \setminus \{0\}$ . On en déduit : $\boxed{V = G \cup \{0\}}$
Soit $M \in G$ . Considérons l'application linéaire $\phi : W \times W \to V$ définie par $\phi(N, P) = M P - N$ . L'espace $W \times W$ est de dimension $2+2=4$ sur $\mathbb{K}$ , tandis que $V$ est de dimension 3. Par le théorème du rang, $\ker \phi$ est de dimension au moins $4-3=1$ . Il existe donc un couple $(N, P) \neq (0, 0)$ tel que $MP = N$ . Si $P=0$ , alors $N=0$ , ce qui contredit $(N,P) \neq (0,0)$ . Donc $P \neq 0$ . Comme $V$ est un corps et $P \neq 0$ , $P$ est inversible dans $V$ (et donc dans $GL_3(\mathbb{K})$ car $V$ est une sous-algèbre). De même, si $N=0$ , alors $MP=0 \implies M=0$ car $P \neq 0$ , ce qui est impossible car $M \in G \subset GL_3(\mathbb{K})$ . On a donc bien : $\boxed{M = N P^{-1} \text{avec } N, P \in W \setminus \{0\}}$
1. $H = \langle A^2 \rangle$ . Comme l'ordre de $A$ est 26, l'ordre de $A^2$ est $26 / \text{pgcd}(2, 26) = 13$ . $H$ est un sous-groupe d'un groupe cyclique, il est donc cyclique d'ordre 13. $\boxed{H \cong \mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z}}$
2. Les éléments de $W$ sont de la forme $M = a I + b A$ avec $(a,b) \in \mathbb{K}^2$ . Un élément $M \in W$ appartient à $H$ si et seulement si $M^{13} = I$ et $M \neq 0$ . Calculons $M^{13} = (aI + bA)^{13}$ en utilisant $(x+y)^3 = x^3 + y^3$ en caractéristique 3 : $M^9 = (aI + bA)^9 = a^9 I + b^9 A^9 = a I + b (A+I) = (a+b)I + bA$ $M^3 = a I + b A^3 = a I + b(A-I) = (a-b)I + bA$ $M^{13} = M^9 \cdot M^3 \cdot M = [(a+b)I + bA] \cdot [(a-b)I + bA] \cdot (aI + bA)$ Le produit des deux premiers termes est : $((a+bA)+b)((a+bA)-b) = (a+bA)^2 - b^2 I$ En multipliant par $(a+bA)$ : $(a+bA)^3 - b^2(a+bA) = (a^3+b^3A^3) - b^2 a I - b^3 A = aI + b(A-I) - ab^2 I - bA = (a - b - ab^2)I$ On cherche $a, b \in \mathbb{F}_3$ tels que $a - b - ab^2 = 1$ . - Si $b=0$ : $a=1$ , d'où $M=I$ (1 solution). - Si $b=1$ : $a-1-a=1 \implies -1=1$ , impossible. - Si $b=2$ : $a-2-4a=1 \implies a+1-a=1 \implies 1=1$ , vrai pour $a \in \{0, 1, 2\}$ . Cela donne les matrices $2A$ , $I+2A$ et $2I+2A$ . Au total, il y a $1+3=4$ solutions. $\boxed{|H \cap W| = 4}$

Attention à ne pas oublier que dans un corps fini de caractéristique $p$ , la puissance $p$ -ième est une application linéaire (morphisme de Frobenius). Cela simplifie grandement les calculs de $A^9$ et $M^9$ .