Génération de GL_n(K) par les matrices diagonalisables

Résolution.

Notons $G = \langle \mathcal{D} \rangle$ le sous-groupe engendré par les matrices diagonalisables inversibles. Par définition, $G \subset \mathcal{G} \mathcal{L}_{n}(\mathbb{K})$.

Nous allons montrer l'inclusion inverse en prouvant que les générateurs usuels de $\mathcal{G} \mathcal{L}_{n}(\mathbb{K})$ appartiennent à $G$.

1. Cas des matrices de dilatation. Une matrice de dilatation est de la forme $D_i(\alpha) = I_n + (\alpha - 1) E_{i,i}$ avec $\alpha \in \mathbb{K}^*$. Cette matrice est diagonale, donc elle est trivialement diagonalisable. Comme elle est inversible (car $\alpha \neq 0$), on a :
   $$\forall i \in \{1, \dots, n\}, \forall \alpha \in \mathbb{K}^*,   \boxed{D_i(\alpha) \in \mathcal{D} \subset G}$$

2. Cas des matrices de transvection. Soit $T = I_n + \lambda E_{i,j}$ une transvection, avec $i \neq j$ et $\lambda \in \mathbb{K}^*$. On sait qu'une transvection n'est jamais diagonalisable (sa seule valeur propre est $1$ mais elle n'est pas égale à l'identité). Cependant, nous allons montrer qu'elle se décompose en produit d'éléments de $\mathcal{D}$. Posons $A = I_n + E_{i,j} - 2 E_{j,j}$ et $B = I_n + (\lambda + 1) E_{i,j} - 2 E_{j,j}$. Calculons le produit $AB$ en utilisant les relations $E_{i,j} E_{j,j} = E_{i,j}$, $E_{j,j} E_{i,j} = 0$ (car $i \neq j$) et $E_{j,j}^2 = E_{j,j}$ : \begin{align*} AB &= (I_n + E_{i,j} - 2 E_{j,j})(I_n + (\lambda + 1) E_{i,j} - 2 E_{j,j})
   &= I_n + (\lambda + 1) E_{i,j} - 2 E_{j,j} + E_{i,j} + (\lambda+1)E_{i,j}^2 - 2 E_{i,j}E_{j,j} - 2 E_{j,j} - 2(\lambda+1)E_{j,j}E_{i,j} + 4 E_{j,j}^2
   &= I_n + (\lambda + 1) E_{i,j} - 2 E_{j,j} + E_{i,j} + 0 - 2 E_{i,j} - 2 E_{j,j} - 0 + 4 E_{j,j}
   &= I_n + \lambda E_{i,j} \end{align*}

   D'où :

   $$\boxed{T = AB}$$
3. Diagonalisabilité de $A$ et $B$. La matrice $A$ est triangulaire par blocs (ou peut être vue comme l'identité partout sauf sur un bloc $2 \times 2$ impliquant les indices $i$ et $j$). Ses valeurs propres sont les éléments diagonaux : $1$ (de multiplicité $n-1$) et $-1$ (de multiplicité $1$). Comme la caractéristique de $\mathbb{K}$ n'est pas $2$, on a $1 \neq -1$ dans $\mathbb{K}$. Regardons le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$. La matrice $A - I_n = E_{i,j} - 2E_{j,j}$ est de rang $1$ (ses colonnes sont toutes nulles sauf la $j$-ème qui vaut $e_i - 2e_j$). Par le théorème du rang, $\dim \ker(A - I_n) = n - 1$. Le sous-espace propre associé à la valeur propre $-1$ est de dimension au moins $1$. La somme des dimensions des sous-espaces propres est donc $n$. Ainsi, $A$ est diagonalisable. Le même raisonnement s'applique à $B$. Comme $\det(A) = -1 \neq 0$ et $\det(B) = -1 \neq 0$, on a :
   $$\boxed{A, B \in \mathcal{D}}$$
4. Conclusion. Toute transvection appartient à $G$ puisqu'elle est produit de deux éléments de $\mathcal{D}$. Comme $\mathcal{G} \mathcal{L}_{n}(\mathbb{K})$ est engendré par les dilatations et les transvections, nous en déduisons :
   $$\boxed{ \langle \mathcal{D} \rangle = \mathcal{G} \mathcal{L}_{n}(\mathbb{K}) }$$