Connexité par arcs de $GL_n(\mathbb{K})$

Résolution.

1. Étude de $GL_n(\mathbb{C$)} Soit $A \in GL_n(\mathbb{C})$. Puisque le polynôme caractéristique de $A$ est scindé sur $\mathbb{C}$, la matrice $A$ est trigonalisable. Il existe donc $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que :
   $$A = P T P^{-1}$$
   On décompose $T = D + N$ où $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ est la partie diagonale et $N$ est strictement triangulaire. Considérons le chemin continu $\gamma_1 : [0,1] \to GL_n(\mathbb{C})$ défini par :
   $$\gamma_1(t) = P (D + (1-t)N) P^{-1}$$
   Ce chemin est bien dans $GL_n(\mathbb{C})$ car $\det(\gamma_1(t)) = \prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(A) \neq 0$. On a $\gamma_1(0) = A$ et $\gamma_1(1) = P D P^{-1}$. Ainsi $A$ est reliée à une matrice diagonale. Comme $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ est connexe par arcs, pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, il existe un chemin continu $f_i : [0,1] \to \mathbb{C}^*$ tel que $f_i(0) = \lambda_i$ et $f_i(1) = 1$. On définit alors le chemin $\gamma_2 : [0,1] \to GL_n(\mathbb{C})$ par :
   $$\gamma_2(t) = P \text{diag}(f_1(t), \dots, f_n(t)) P^{-1}$$
   Ce chemin relie $P D P^{-1}$ à $P I_n P^{-1} = I_n$. Par transitivité, tout élément de $GL_n(\mathbb{C})$ est relié à $I_n$.
   $$\boxed{GL_n(\mathbb{C}) \text{ est connexe par arcs.}}$$

2. Étude de $GL_n(\mathbb{R$)}
   1. L'application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est continue (car polynomiale en les coefficients). Par restriction, $\det : GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$ est également continue. Si $GL_n(\mathbb{R})$ était connexe par arcs, son image par le déterminant, qui est $\mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$, serait également connexe par arcs. Or, $\mathbb{R}^*$ n'est pas connexe par arcs (une fonction continue sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}^*$ ne peut pas changer de signe sans s'annuler d'après le théorème des valeurs intermédiaires).
      $$\boxed{GL_n(\mathbb{R}) \text{ n'est pas connexe par arcs.}}$$

   2. Soit $M \in GL_n^+(\mathbb{R})$. D'après l'algorithme du pivot de Gauss, $M$ peut être transformée en une matrice diagonale $D = \text{diag}(1, \dots, 1, \det M)$ par une suite d'opérations élémentaires de transvection. Cela signifie qu'il existe des matrices de transvection $T_1, \dots, T_k$ telles que :
      $$M = T_1 \dots T_k \text{diag}(1, \dots, 1, \det M)$$
      Rappelons qu'une transvection $T_{i,j}(\lambda) = I_n + \lambda E_{i,j}$ (avec $i \neq j$) est reliée à $I_n$ par le chemin continu $t \mapsto I_n + t\lambda E_{i,j}$ qui reste dans $SL_n(\mathbb{R}) \subset GL_n^+(\mathbb{R})$. Posons $d = \det M > 0$. La matrice $D = \text{diag}(1, \dots, 1, d)$ est reliée à $I_n$ par le chemin :
      $$\delta(t) = \text{diag}(1, \dots, 1, (1-t)d + t \cdot 1)$$
      Ce chemin reste dans $GL_n^+(\mathbb{R})$ car $(1-t)d + t > 0$ pour tout $t \in [0,1]$ (combinaison convexe de réels strictement positifs). Comme produit de chemins continus dans $GL_n^+(\mathbb{R})$, $M$ est reliée à $I_n$.
      $$\boxed{GL_n^+(\mathbb{R}) \text{ est connexe par arcs.}}$$

   3. On a montré que $GL_n^+(\mathbb{R})$ est connexe par arcs. Considérons $GL_n^-(\mathbb{R}) = \{ M \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det(M) < 0 \}$. L'application $\phi : M \mapsto \text{diag}(-1, 1, \dots, 1) \cdot M$ est un homéomorphisme de $GL_n(\mathbb{R})$ qui échange $GL_n^+(\mathbb{R})$ et $GL_n^-(\mathbb{R})$. La connexité par arcs étant préservée par homéomorphisme, $GL_n^-(\mathbb{R})$ est aussi connexe par arcs. Comme $GL_n(\mathbb{R}) = GL_n^+(\mathbb{R}) \cup GL_n^-(\mathbb{R})$ et que ces deux ensembles sont ouverts et disjoints :
      $$\boxed{\text{Les composantes connexes par arcs sont } GL_n^+(\mathbb{R}) \text{ et } GL_n^-(\mathbb{R}).}$$