Coïncidence des orbites de deux matrices inversibles

Soient $n$ un entier naturel non nul et deux matrices $A, B \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ . On considère deux vecteurs $X$ et $Y$ de $\mathbb{C}^{n}$ et l'on suppose que la relation suivante est vérifiée pour tout entier $k \geq 1$ :

A^{k} X = B^{k} Y

Démontrer que les vecteurs $X$ et $Y$ sont nécessairement égaux.

1.

Commencer par exploiter le cas $k=1$ et $k=2$ pour définir un vecteur $Z$ tel que $AZ = BZ$ .

2.

Montrer par récurrence que $A^k Z = B^k Z$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ .

3.

Utiliser un polynôme annulateur de $B$ (par exemple son polynôme minimal ou caractéristique) pour exprimer $B^{-1} Z$ en fonction des puissances positives de $B$ .

4.

Conclure en utilisant l'inversibilité des matrices et la stabilité de certains sous-espaces.

Idées clés

•

Utilisation du polynôme minimal pour exprimer l'inverse d'une matrice.

•

Stabilité des sous-espaces par un endomorphisme et son inverse.

•

Relation entre égalité des puissances et égalité des polynômes d'endomorphismes.

Résolution.

Étude des premiers rangs et introduction d'un vecteur pivot.
D'après l'énoncé, pour $k=1$ , nous avons $AX = BY$ . Posons :
$\boxed{Z = AX = BY}$ Pour $k=2$ , l'hypothèse donne $A^2 X = B^2 Y$ . En réécrivant cette égalité, on obtient : $A(AX) = B(BY) \implies AZ = BZ$ Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout $k \in \mathbb{N}$ : $\boxed{A^k Z = B^k Z}$ En effet, si l'égalité est vraie au rang $k$ , alors $A^{k+1} Z = A(A^k Z) = A(B^k Z)$ . D'autre part, l'hypothèse au rang $k+2$ donne $A^{k+2} X = B^{k+2} Y$ , soit $A^{k+1} Z = B^{k+1} Z$ .
Utilisation d'un polynôme annulateur.
Soit $P = \sum_{i=0}^d a_i T^i$ un polynôme annulateur de $B$ (par exemple son polynôme minimal $M_B$ ). Comme $B$ est inversible, $0$ n'est pas valeur propre de $B$ , donc $P(0) = a_0 \neq 0$ . Puisque $P(B) = 0$ , on a en particulier $P(B)Z = 0$ , ce qui s'écrit :
$a_0 Z + \sum_{i=1}^d a_i B^i Z = 0$ Or, nous avons établi que $B^i Z = A^i Z$ pour tout $i \geq 0$ . On peut donc substituer : $a_0 Z + \sum_{i=1}^d a_i A^i Z = 0 \implies P(A)Z = 0$
Expression de l'inverse et conclusion.
Puisque $a_0 \neq 0$ , on peut isoler $Z$ dans l'équation $P(B)Z = 0$ :
$Z = -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^d a_i B^i Z = B \left( -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^d a_i B^{i-1} Z \right)$ En multipliant par $B^{-1}$ à gauche, on obtient : $B^{-1} Z = -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^d a_i B^{i-1} Z$ De la même manière, comme $P(A)Z = 0$ , on a : $A^{-1} Z = -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^d a_i A^{i-1} Z$ Grâce à l'égalité $A^j Z = B^j Z$ valable pour tout $j \in \mathbb{N}$ , les deux sommes ci-dessus sont égales terme à terme. On en déduit : $\boxed{A^{-1} Z = B^{-1} Z}$ Enfin, par définition de $Z$ , nous avons $X = A^{-1} Z$ et $Y = B^{-1} Z$ . L'égalité précédente permet de conclure : $\boxed{X = Y}$

Si l'on suppose que l'égalité $A^k X = B^k Y$ est vraie pour $k \in \mathbb{N}$ , le résultat est trivial car pour $k=0$ , on a $A^0 X = B^0 Y$ , soit $I_n X = I_n Y$ . Toute la difficulté (et l'intérêt) de l'exercice réside dans le cas où l'on ne connaît l'égalité qu'à partir du rang $k=1$ .