Déterminant et racines d'un polynôme annulateur

On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ vérifiant l'équation polynomiale suivante :

A^{3} - A = 6 I_{n}

Déterminer l'image de l'ensemble $\mathcal{E}$ par l'application déterminant.

1.

Commencer par déterminer les racines du polynôme annulateur $P(X) = X^3 - X - 6$ dans $\mathbb{C}$ .

2.

Utiliser le fait que toute matrice réelle a un polynôme caractéristique à coefficients réels, ce qui impose des contraintes sur les multiplicités des valeurs propres complexes non réelles.

3.

Relier le déterminant au produit des valeurs propres de la matrice comptées avec leur multiplicité.

4.

Pour chaque valeur candidate, justifier son appartenance à l'image en construisant une matrice réelle adéquate (par exemple par blocs).

Idées clés

•

Analyse du spectre via un polynôme annulateur.

•

Propriété de conjugaison des racines du polynôme caractéristique pour une matrice réelle.

•

Construction de matrices par blocs pour prouver l'existence.

1. Recherche des valeurs propres possibles

Soit $A \in \mathcal{E}$ . La matrice $A$ est annulée par le polynôme $P(X) = X^3 - X - 6$ . Le spectre de $A$ , noté $\text{Sp}(A)$ , est donc inclus dans l'ensemble des racines de $P$ .

Cherchons une racine évidente de $P$ . On remarque que :

P(2) = 2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0

On peut alors factoriser $P$ par $(X-2)$ . Par division euclidienne ou identification, on obtient :

P(X) = (X-2)(X^2 + 2X + 3)

Déterminons les racines du trinôme $Q(X) = X^2 + 2X + 3$ . Son discriminant est :

\Delta = 2^2 - 4 \times 3 = 4 - 12 = -8

Les racines de $Q$ sont donc $z = \frac{-2 + 2i\sqrt{2}}{2} = -1 + i\sqrt{2}$ et $\bar{z} = -1 - i\sqrt{2}$ . Le polynôme $P$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}[X]$ :

\boxed{P(X) = (X-2)(X-z)(X-\bar{z})}

2. Contraintes sur les multiplicités

Puisque $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Notons $k, m$ et $p$ les multiplicités respectives des valeurs propres $2, z$ et $\bar{z}$ .

La somme des multiplicités est égale à la dimension de l'espace :

k + m + p = n

Comme $A$ est une matrice à coefficients réels, son polynôme caractéristique est à coefficients réels. Si $z$ est racine du polynôme caractéristique avec la multiplicité $m$ , alors $\bar{z}$ est aussi racine avec la même multiplicité.

On en déduit que $m = p$ . La relation sur les dimensions devient :

k + 2m = n

3. Calcul du déterminant

Le déterminant d'une matrice est égal au produit de ses valeurs propres complexes comptées avec leur multiplicité :

\det(A) = 2^k \cdot z^m \cdot \bar{z}^m = 2^k \cdot (z\bar{z})^m

Calculons le module au carré de $z$ :

z\bar{z} = |z|^2 = (-1)^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3

En remplaçant $k$ par $n-2m$ , on obtient l'expression générale :

\boxed{\det(A) = 2^{n-2m} \cdot 3^m}

Puisque $k = n-2m \ge 0$ , l'entier $m$ peut varier dans l'ensemble $\{0, 1, \dots, \lfloor n/2 \rfloor \}$ .

4. Synthèse et construction

Il reste à vérifier que pour chaque $m \in \{0, \dots, \lfloor n/2 \rfloor \}$ , il existe une matrice $A \in \mathcal{E}$ correspondante. Considérons la matrice $C = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{2} \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

Son polynôme caractéristique est $\chi_C(X) = (X+1)^2 + 2 = X^2 + 2X + 3$ . Ainsi, $Q(C) = 0$ , ce qui implique $P(C) = (C-2I)Q(C) = 0$ .

Pour une valeur de $m$ donnée, on définit la matrice $A$ par blocs :

A = \text{diag}(\underbrace{2, \dots, 2}_{n-2m \text{ fois}}, \underbrace{C, \dots, C}_{m \text{ fois}})

Cette matrice $A$ est réelle et vérifie $P(A) = 0$ , donc $A \in \mathcal{E}$ . Son déterminant est bien $2^{n-2m} \times (\det C)^m = 2^{n-2m} \times 3^m$ .

Conclusion : L'image de $\mathcal{E}$ par le déterminant est l'ensemble :

\boxed{ \left\{ 2^{n-2m} 3^m \mid m \in \left\{ 0, 1, \dots, \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right\} \right\} }

Il ne faut pas oublier que la matrice est réelle. Sans cette hypothèse, les multiplicités de $z$ et $\bar{z}$ pourraient être différentes, ce qui conduirait à un ensemble de valeurs beaucoup plus vaste (et potentiellement non réelles).