Image du déterminant sur un ensemble de matrices

Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ , on définit l'ensemble de matrices suivant :

E_{n} = \left\{ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid A^{3} + A = 10 I_{n} \right\}

L'objectif est de déterminer explicitement l'ensemble $f(E_n)$ où $f : A \mapsto \det(A)$ .

1.

Étudier le polynôme $P(X) = X^3 + X - 10$ et déterminer ses racines dans $\mathbb{C}$ .

2.

Utiliser le lien entre les racines d'un polynôme annulateur et le spectre d'une matrice.

3.

Exploiter le fait que pour une matrice réelle, les valeurs propres complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées avec la même multiplicité.

4.

Pour montrer que les valeurs obtenues sont atteintes, on pourra construire des matrices par blocs.

Idées clés

•

Analyse des racines du polynôme annulateur.

•

Propriété de conjugaison des valeurs propres pour les matrices réelles.

•

Construction de matrices par blocs (matrices compagnons ou blocs $2 \times 2$ ) pour l'existence.

1. Recherche des racines du polynôme annulateur.

Soit $A \in E_n$ . Le polynôme $P(X) = X^3 + X - 10$ est un polynôme annulateur de $A$ .

On cherche une racine évidente de $P$ . On remarque que :

P(2) = 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0

On peut donc factoriser $P$ par $(X-2)$ . Par division euclidienne ou identification, on obtient :

P(X) = (X-2)(X^2 + 2X + 5)

Le discriminant du trinôme $Q(X) = X^2 + 2X + 5$ est $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ .

Les racines complexes de $Q$ sont donc :

z_1 = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i   \text{et}   z_2 = \bar{z_1} = -1 - 2i

\boxed{ \text{Les racines de } P \text{ sont } \{2, -1+2i, -1-2i\} }

2. Contraintes sur le spectre et le déterminant.

Puisque $P$ annule $A$ , le spectre complexe de $A$ , noté $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ , est inclus dans l'ensemble des racines de $P$ .

Soient $n_1, n_2, n_3$ les multiplicités respectives des valeurs propres $2$ , $-1+2i$ et $-1-2i$ dans le polynôme caractéristique $\chi_A$ .

Comme $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $A$ , alors $\bar{\lambda}$ est aussi valeur propre avec la même multiplicité. On en déduit :

n_2 = n_3

La somme des multiplicités des valeurs propres (comptées avec leur ordre dans $\mathbb{C}$ ) est égale à la dimension de l'espace :

n_1 + n_2 + n_3 = n \implies n_1 + 2n_2 = n

Le déterminant de $A$ est le produit des valeurs propres complexes :

\det(A) = 2^{n_1} \cdot (-1+2i)^{n_2} \cdot (-1-2i)^{n_2}

On simplifie le produit des racines complexes conjuguées :

(-1+2i)(-1-2i) = | -1+2i |^2 = (-1)^2 + 2^2 = 5

Ainsi :

\det(A) = 2^{n_1} \cdot 5^{n_2}

En remplaçant $n_1$ par $n - 2n_2$ , on obtient :

\det(A) = 2^{n-2n_2} \cdot 5^{n_2} = 2^n \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^{n_2}

3. Détermination des valeurs possibles.

D'après la relation $n_1 + 2n_2 = n$ avec $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ , l'entier $n_2$ peut prendre toutes les valeurs telles que $0 \le 2n_2 \le n$ .

Ceci signifie que $n_2 \in \{0, 1, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\}$ .

4. Synthèse (réalisabilité).

Il reste à vérifier que pour chaque $k \in \{0, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\}$ , il existe une matrice $A \in E_n$ telle que $n_2 = k$ .

On peut construire une matrice par blocs. Soit $C$ la matrice compagnon du polynôme $Q(X) = X^2 + 2X + 5$ :

C = \begin{pmatrix} 0 & -5 1 & -2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

Cette matrice $C$ vérifie $C^2 + 2C + 5I_2 = 0$ , donc $P(C) = (C-2I_2)Q(C) = 0$ .

Pour une valeur de $k$ donnée, on définit $A$ comme la matrice diagonale par blocs :

A = \text{diag}(\underbrace{2, \dots, 2}_{n-2k}, \underbrace{C, \dots, C}_{k \text{ fois}})

Cette matrice est bien réelle, appartient à $E_n$ car chaque bloc est annulé par $P$ , et son déterminant est exactement $2^{n-2k} \cdot 5^k$ .

\boxed{ \det(E_n) = \left\{ 2^n \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^k \mid k \in \{0, 1, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\} \right\} }

L'erreur classique est d'oublier que $A$ est une matrice réelle. Si on considérait $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , les multiplicités de $-1+2i$ et $-1-2i$ ne seraient pas nécessairement égales, et l'image par le déterminant serait beaucoup plus vaste.