Annulateur cyclotomique et trace nulle

Soient $p$ un nombre premier et $n = p-1$ . On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ satisfaisant les deux conditions suivantes :

$A^{p+1} = A$
$\operatorname{Tr}(A) = 0$

Démontrer que la matrice $A$ est nécessairement nulle.

1.

Commencer par déterminer un polynôme annulateur simple pour $A$ et en déduire que $A$ est diagonalizable.

2.

Exprimer la trace de $A$ en fonction des multiplicités de ses valeurs propres, qui sont des racines de l'unité.

3.

Utiliser l'irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ du polynôme cyclotomique $\Phi_p = \sum_{k=0}^{p-1} X^k$ .

4.

Conclure en comparant la somme des multiplicités avec la taille de la matrice.

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur à racines simples pour la diagonalisabilité.

•

Lien entre trace, valeurs propres et arithmétique des polynômes (irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ ).

Résolution.

Diagonalisabilité de la matrice $A$ . D'après l'énoncé, la matrice $A$ annule le polynôme $P(X) = X^{p+1} - X$ . On peut factoriser ce polynôme dans $\mathbb{C}[X]$ : $P(X) = X(X^p - 1) = X \prod_{k=0}^{p-1} (X - \omega^k)$ où l'on a posé $\omega = e^{\frac{2i\pi}{p}}$ . Les racines de $P$ sont $0$ et les $p$ racines $p$ -ièmes de l'unité. Ces racines sont toutes distinctes deux à deux. $\boxed{P \text{ est un polynôme annulateur de } A \text{ à racines simples, donc } A \text{ est diagonalizable sur } \mathbb{C}.}$
Étude du spectre et de la trace. Puisque $A$ est diagonalizable, son spectre est inclus dans l'ensemble des racines de $P$ . Notons $n_0$ la multiplicité de la valeur propre $1$ (cas $k=0$ pour $\omega^k$ ), $n_k$ la multiplicité de la valeur propre $\omega^k$ pour $k \in \{1, \dots, p-1\}$ , et $m$ la multiplicité de la valeur propre $0$ . La trace de $A$ est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité : $\operatorname{Tr}(A) = n_0 \cdot 1 + \sum_{k=1}^{p-1} n_k \omega^k = 0$ Posons le polynôme $Q(X) = n_0 + n_1 X + n_2 X^2 + \dots + n_{p-1} X^{p-1}$ . La condition sur la trace se réécrit simplement : $\boxed{Q(\omega) = 0}$
Utilisation de l'irréductibilité du polynôme cyclotomique. Le polynôme $Q$ est à coefficients entiers naturels ( $n_k \in \mathbb{N}$ ). En particulier, $Q \in \mathbb{Q}[X]$ . On sait que le $p$ -ième polynôme cyclotomique, défini par : $\Phi_p(X) = 1 + X + X^2 + \dots + X^{p-1}$ est le polynôme minimal de $\omega$ sur $\mathbb{Q}$ car il est irréductible sur $\mathbb{Q}$ (puisque $p$ est premier). Comme $Q(\omega) = 0$ et $Q \in \mathbb{Q}[X]$ , le polynôme minimal $\Phi_p$ divise $Q$ dans $\mathbb{Q}[X]$ . Il existe donc un polynôme $R \in \mathbb{Q}[X]$ tel que $Q = R \Phi_p$ . Or, $\deg(Q) \le p-1$ et $\deg(\Phi_p) = p-1$ . Par conséquent, $R$ doit être un polynôme constant, noté $\lambda \in \mathbb{Q}$ . $Q(X) = \lambda \Phi_p(X) = \lambda + \lambda X + \dots + \lambda X^{p-1}$ Par identification des coefficients, on en déduit que : $\boxed{n_0 = n_1 = n_2 = \dots = n_{p-1} = \lambda}$ Puisque les $n_k$ sont des entiers (dimensions de sous-espaces propres), $\lambda$ est un entier naturel.
Conclusion par argument de dimension. La somme des multiplicités des valeurs propres de $A$ $A$ est égale à la taille de la matrice, soit $n = p-1$ $n = p - 1$ . Si l'on note $m$ $m$ la multiplicité de la valeur propre $0$ $0$ , on a :
$m + \sum_{k=0}^{p-1} n_k = p-1$
En remplaçant les $n_k$ $n_{k}$ par $\lambda$ $λ$ , on obtient :
$m + p\lambda = p-1$
Comme $m \ge 0$ $m \geq 0$ et $p\lambda \ge 0$ $p λ \geq 0$ avec $\lambda \in \mathbb{N}$ $λ \in N$ , analysons les valeurs possibles de $\lambda$ $λ$ :
- Si $\lambda \ge 1$ , alors $p\lambda \ge p$ . L'égalité $m + p\lambda = p-1$ impliquerait $m \le (p-1) - p = -1$ , ce qui est impossible.
- La seule possibilité est donc $\boxed{\lambda = 0}$ .
Si $\lambda = 0$ $λ = 0$ , alors $n_0 = n_1 = \dots = n_{p-1} = 0$ $n_{0} = n_{1} = \dots = n_{p - 1} = 0$ . Toutes les multiplicités des valeurs propres non nulles sont nulles. Le spectre de $A$ $A$ est donc réduit à $\{0\}$ ${0}$ . Une matrice diagonalizable dont la seule valeur propre est $0$ $0$ est nécessairement la matrice nulle.
$\boxed{A = 0}$

L'erreur classique consiste à oublier que les multiplicités $n_k$ sont des entiers. Sans cette information, on ne pourrait pas affirmer que $Q$ est un multiple de $\Phi_p$ dans $\mathbb{Q}[X]$ . Si les $n_k$ étaient des complexes quelconques, la trace nulle n'impliquerait absolument pas $A=0$ .