Analyse d'une équation matricielle polynomiale

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ satisfaisant les trois conditions suivantes :

$A^{5}-2 A^{4}-2 A^{3}+A^{2}+4 A+4 I_{n}=0$
$\operatorname{Tr}(A)=0$
$\operatorname{det}(A)= \pm 1$

Déterminer toutes les matrices $A$ vérifiant ces propriétés.

1.

Commencer par factoriser le polynôme annulateur $P(X) = X^5 - 2X^4 - 2X^3 + X^2 + 4X + 4$ dans $\mathbb{C}[X]$ .

2.

Utiliser le fait que le spectre complexe d'une matrice est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur.

3.

Exprimer la trace et le déterminant de $A$ en fonction des multiplicités algébriques des valeurs propres dans le polynôme caractéristique.

4.

Ne pas oublier que pour une matrice réelle, si $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre, alors son conjugué $\bar{\lambda}$ l'est avec la même multiplicité.

Idées clés

•

Lien entre racines du polynôme annulateur et spectre complexe.

•

Propriétés des multiplicités des valeurs propres complexes pour une matrice réelle.

•

Relation entre coefficients du polynôme caractéristique (trace, déterminant) et racines.

1. Factorisation du polynôme annulateur.

Soit $P(X) = X^5 - 2X^4 - 2X^3 + X^2 + 4X + 4$ . Cherchons les racines de $P$ . On remarque que $P(-1) = -1 - 2 + 2 + 1 - 4 + 4 = 0$ . De plus, $P(2) = 32 - 32 - 16 + 4 + 8 + 4 = 0$ .

Calculons la dérivée $P'(X) = 5X^4 - 8X^3 - 6X^2 + 2X + 4$ . On a $P'(2) = 5(16) - 8(8) - 6(4) + 4 + 4 = 80 - 64 - 24 + 8 = 0$ . Ainsi, $2$ est une racine au moins double de $P$ .

En effectuant la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-2)^2(X+1) = (X^2-4X+4)(X+1) = X^3 - 3X^2 + 4$ , on obtient :

P(X) = (X-2)^2 (X+1) (X^2 + X + 1)

Les racines de $X^2 + X + 1$ sont $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $j^2 = \bar{j}$ . Ainsi :

\boxed{P(X) = (X-2)^2 (X+1) (X-j) (X-j^2)}

2. Analyse du spectre de $A$ .

Soit $A$ une solution. Puisque $P(A) = 0$ , le spectre complexe de $A$ , noté $\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ , est inclus dans l'ensemble des racines de $P$ :

\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \subset \{ -1, 2, j, j^2 \}

Notons $\chi_A(X)$ le polynôme caractéristique de $A$ . Puisque $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , $\chi_A$ est à coefficients réels. Soient $n_{-1}, n_2, n_j, n_{j^2}$ les multiplicités respectives de $-1, 2, j, j^2$ en tant que racines de $\chi_A$ (ces multiplicités sont des entiers naturels).

Comme $\chi_A \in \mathbb{R}[X]$ , les racines complexes non réelles sont conjuguées avec la même multiplicité, d'où $n_j = n_{j^2}$ . Posons $m = n_j = n_{j^2}$ .

La dimension de l'espace impose la relation :

n = n_{-1} + n_2 + 2m

3. Utilisation des contraintes sur le déterminant et la trace.

Le déterminant de $A$ est le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité :

\operatorname{det}(A) = (-1)^{n_{-1}} \cdot 2^{n_2} \cdot j^m \cdot (j^2)^m = (-1)^{n_{-1}} \cdot 2^{n_2} \cdot (j^3)^m = (-1)^{n_{-1}} 2^{n_2}

On nous donne $|\operatorname{det}(A)| = 1$ , ce qui implique :

|(-1)^{n_{-1}} 2^{n_2}| = 1 \implies 2^{n_2} = 1

Comme $n_2$ est un entier naturel, nous en déduisons :

\boxed{n_2 = 0}

La trace de $A$ est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité :

\operatorname{Tr}(A) = n_{-1}(-1) + n_2(2) + m(j + j^2)

Sachant que $n_2 = 0$ et $j + j^2 = -1$ , la condition $\operatorname{Tr}(A) = 0$ devient :

-n_{-1} + 0 + m(-1) = 0 \iff -(n_{-1} + m) = 0

Comme $n_{-1}$ et $m$ sont des entiers naturels, cette égalité impose :

\boxed{n_{-1} = 0   \text{et}   m = 0}

4. Conclusion.

En reprenant la relation sur la dimension $n$ :

n = n_{-1} + n_2 + 2m = 0 + 0 + 0 = 0

Or, l'énoncé suppose $n \geq 1$ . Il y a donc une contradiction.

\boxed{\text{L'ensemble des solutions est vide.}}

Il ne faut pas oublier que $n_j = n_{j^2}$ . Si l'on ne considère pas cette égalité (issue du fait que $A$ est réelle), on pourrait penser qu'il existe des solutions complexes, mais ici la matrice est explicitement dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .