Encadrement de la trace d'une matrice réelle

Soit $A \in \mathcal{M}_{5}(\mathbb{R})$ une matrice carrée d'ordre 5 à coefficients réels. On suppose que la matrice $A$ vérifie la relation polynomiale suivante :

12 A^{3} - 8 A^{2} + 7 A - I_{5} = 0

Démontrer que la trace de la matrice $A$ appartient à l'intervalle ouvert $]0, 2[$ .

1.

Commencer par déterminer les racines du polynôme annulateur $P(X) = 12X^3 - 8X^2 + 7X - 1$ .

2.

Utiliser le fait que toute valeur propre de $A$ est racine de ce polynôme annulateur.

3.

Justifier que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_5(\mathbb{C})$ pour exprimer la trace comme somme des valeurs propres avec leurs multiplicités.

4.

Exploiter la réalité de la matrice $A$ pour obtenir une condition sur les multiplicités des racines complexes conjuguées.

Idées clés

•

Lien entre spectre et racines d'un polynôme annulateur.

•

Diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ via le critère des racines simples.

•

Symétrie du spectre pour une matrice réelle : si $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre, alors $\bar{\lambda}$ l'est avec la même multiplicité.

1. Recherche des racines du polynôme annulateur.

Considérons le polynôme $P(X) = 12X^3 - 8X^2 + 7X - 1$ .

Pour trouver une racine rationnelle de la forme $p/q$ , on cherche $p$ parmi les diviseurs de $-1$ (soit $\pm 1$ ) et $q$ parmi les diviseurs de $12$ (soit $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ).

On teste $X = \frac{1}{6}$ :

P\left(\frac{1}{6}\right) = 12 \cdot \frac{1}{216} - 8 \cdot \frac{1}{36} + \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{18} - \frac{2}{9} + \frac{7}{6} - 1

P\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1 - 4 + 21 - 18}{18} = 0

Ainsi, $1/6$ est racine de $P$ . On procède à la division euclidienne ou à une identification pour factoriser $P$ :

P(X) = \left(X - \frac{1}{6}\right)(12X^2 - 6X + 6) = 6 \left(X - \frac{1}{6}\right) (2X^2 - X + 1)

Les racines du trinôme $2X^2 - X + 1$ sont obtenues via le discriminant $\Delta = (-1)^2 - 4(2)(1) = -7$ . Les racines complexes sont :

z_1 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{4}   \text{et}   z_2 = \bar{z_1} = \frac{1 - i\sqrt{7}}{4}

L'ensemble des racines de $P$ est donc :

\boxed{ \text{Roots}(P) = \left\{ \frac{1}{6}, \frac{1 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{1 - i\sqrt{7}}{4} \right\} }

2. Nature du spectre et multiplicités.

Le polynôme $P$ est annulateur de $A$ . Ses trois racines sont distinctes dans $\mathbb{C}$ . Par conséquent, $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_5(\mathbb{C})$ .

Soit $Sp_{\mathbb{C}}(A)$ le spectre de $A$ . On a $Sp_{\mathbb{C}}(A) \subseteq \{1/6, z_1, z_2\}$ .

Notons $m_1$ , $m_2$ et $m_3$ les multiplicités respectives de $1/6$ , $z_1$ et $z_2$ en tant que valeurs propres (certaines pouvant être nulles). Puisque $A \in \mathcal{M}_5(\mathbb{R})$ , la somme des multiplicités vaut 5 :

m_1 + m_2 + m_3 = 5

De plus, comme $A$ est réelle, les valeurs propres non réelles apparaissent par paires conjuguées avec la même multiplicité. On en déduit :

\boxed{ m_2 = m_3 }

L'équation devient $m_1 + 2m_2 = 5$ . Comme $m_1, m_2 \in \mathbb{N}$ , les couples $(m_1, m_2)$ possibles sont :

(5, 0),   (3, 1),   (1, 2)

3. Calcul des valeurs possibles de la trace.

La trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité :

\operatorname{tr}(A) = m_1 \cdot \frac{1}{6} + m_2 \cdot z_1 + m_2 \cdot z_2 = \frac{m_1}{6} + m_2 (z_1 + z_2)

On remarque que $z_1 + z_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ . Ainsi :

\operatorname{tr}(A) = \frac{m_1}{6} + \frac{m_2}{2}

Calculons les trois valeurs selon les cas identifiés :

Si $(m_1, m_2) = (5, 0)$ , alors $\operatorname{tr}(A) = \frac{5}{6}$ .
Si $(m_1, m_2) = (3, 1)$ , alors $\operatorname{tr}(A) = \frac{3}{6} + \frac{1}{2} = 1$ .
Si $(m_1, m_2) = (1, 2)$ , alors $\operatorname{tr}(A) = \frac{1}{6} + \frac{2}{2} = \frac{7}{6}$ .

Dans tous les cas, les valeurs obtenues $\{5/6, 1, 7/6\}$ appartiennent bien à l'intervalle $]0, 2[$ .

\boxed{ \operatorname{tr}(A) \in \left\{ \frac{5}{6}, 1, \frac{7}{6} \right\} \subset ]0, 2[ }

L'erreur classique consiste à oublier que $A$ est une matrice réelle. Sans cette hypothèse, on ne pourrait pas affirmer que $m_2 = m_3$ , et il y aurait beaucoup plus de combinaisons possibles pour la trace (elle ne serait d'ailleurs pas nécessairement réelle).