Facteurs irréductibles de $\chi$ et $\mu$

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif et $n \in \mathbb{N}^{*}$ . Pour une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , on note $\chi_{M}$ son polynôme caractéristique et $\mu_{M}$ son polynôme minimal.

Le but de cet exercice est de démontrer que $\chi_{M}$ et $\mu_{M}$ possèdent exactement les mêmes facteurs irréductibles dans $\mathbb{K}[X]$ .

Cas où le polynôme caractéristique est scindé. On suppose que $\chi_{M}$ est scindé sur $\mathbb{K}$ . En utilisant le lien entre les racines des polynômes annulateurs et le spectre de la matrice, montrer que $\chi_{M}$ et $\mu_{M}$ ont les mêmes facteurs irréductibles.
Cas général : méthode polynomiale.
1. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ . Démontrer qu'il existe une matrice $R(X) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}[X])$ à coefficients polynomiaux telle que : $P(X) I_{n} - P(M) = (X I_{n} - M) R(X)$
2. En choisissant judicieusement le polynôme $P$ , établir que $\chi_{M}$ divise $\mu_{M}^{n}$ dans $\mathbb{K}[X]$ .
3. Conclure que $\chi_{M}$ et $\mu_{M}$ ont les mêmes facteurs irréductibles sur $\mathbb{K}$ , sans hypothèse supplémentaire sur le corps.

1.

Pour la question 1, rappelez-vous que les racines de $\mu_M$ sont exactement les valeurs propres de $M$ , qui sont elles-mêmes les racines de $\chi_M$ .

2.

Pour la question 2.(a), traitez d'abord le cas d'un monôme $P(X) = X^k$ en utilisant une identité de factorisation classique pour $X^k I_n - M^k$ , puis utilisez la linéarité.

3.

Pour la question 2.(b), utilisez la propriété du déterminant : $\det(A B) = \det(A) \det(B)$ dans l'anneau des matrices à coefficients polynomiaux.

4.

Pour la conclusion, utilisez le théorème de Cayley-Hamilton pour obtenir une divisibilité dans l'autre sens.

Idées clés

•

Identité de factorisation : $A^k - B^k = (A-B)\sum A^j B^{k-1-j}$ pour des matrices qui commutent.

•

Théorème de Cayley-Hamilton : $\mu_M$ divise $\chi_M$ .

•

Propriétés du déterminant dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K}[X])$ .

Résolution.

Cas où $\chi_M$ est scindé. Si $\chi_{M}$ est scindé, ses facteurs irréductibles sont tous de la forme $(X - \lambda)$ où $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $M$ . Or, on sait par le cours que l'ensemble des racines de $\mu_{M}$ est exactement égal à l'ensemble des racines de $\chi_{M}$ (le spectre de $M$ ). Par conséquent, un polynôme de degré 1 divise $\chi_{M}$ si et seulement si il divise $\mu_{M}$ . $\boxed{\text{Spec}(M) = \{ \lambda \in \mathbb{K} \mid \chi_M(\lambda) = 0 \} = \{ \lambda \in \mathbb{K} \mid \mu_M(\lambda) = 0 \}}$
Cas général.
1. Soit $k \in \mathbb{N}$ . Comme les matrices $X I_n$ et $M$ commutent dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K}[X])$ , nous pouvons utiliser l'identité géométrique : $X^k I_n - M^k = (X I_n - M) \sum_{j=0}^{k-1} X^j M^{k-1-j}$ En notant $R_k(X) = \sum_{j=0}^{k-1} X^j M^{k-1-j} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}[X])$ , on a $X^k I_n - M^k = (X I_n - M) R_k(X)$ . Par linéarité, si $P(X) = \sum_{k=0}^d a_k X^k$ , on obtient : $P(X) I_n - P(M) = \sum_{k=1}^d a_k (X^k I_n - M^k) = (X I_n - M) \sum_{k=1}^d a_k R_k(X)$ En posant $R(X) = \sum_{k=1}^d a_k R_k(X)$ , on a bien : $\boxed{P(X) I_n - P(M) = (X I_n - M) R(X)}$
2. Appliquons cette relation au polynôme minimal $P = \mu_M$ . Puisque $\mu_M(M) = 0$ par définition, l'égalité devient : $\mu_M(X) I_n = (X I_n - M) R(X)$ Passons au déterminant dans l'anneau $\mathbb{K}[X]$ . Le déterminant d'une matrice scalaire $\mu_M(X) I_n$ est $\mu_M(X)^n$ . Par multiplicativité du déterminant, on a : $\mu_M(X)^n = \det(X I_n - M) \det(R(X))$ Comme $\chi_M(X) = \det(X I_n - M)$ , nous en déduisons : $\boxed{\mu_M(X)^n = \chi_M(X) \det(R(X))}$ Ceci prouve que $\chi_M$ divise $\mu_M^n$ dans $\mathbb{K}[X]$ .
3. Synthèse des divisibilités : 1. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $\chi_M(M) = 0$ . Comme $\mu_M$ est le polynôme minimal, on a $\mu_M \mid \chi_M$ . 2. D'après la question précédente, $\chi_M \mid \mu_M^n$ . Soit $Q$ un polynôme irréductible de $\mathbb{K}[X]$ . Si $Q$ divise $\mu_M$ , alors comme $\mu_M$ divise $\chi_M$ , $Q$ divise $\chi_M$ . Réciproquement, si $Q$ divise $\chi_M$ , alors comme $\chi_M$ divise $\mu_M^n$ , $Q$ divise $\mu_M^n$ . Par le lemme de Gauss (ou l'euclidianité de $\mathbb{K}[X]$ ), un facteur irréductible qui divise une puissance d'un polynôme divise ce polynôme lui-même. Ainsi, $Q$ divise $\mu_M$ . Conclusion : $\boxed{\text{Les facteurs irréductibles de } \chi_M \text{ et } \mu_M \text{ sont identiques.}}$

Attention à ne pas dire que $\chi_M$ et $\mu_M$ sont égaux. Ils ont les mêmes facteurs irréductibles, mais leurs multiplicités peuvent différer (la multiplicité dans $\mu_M$ est toujours inférieure ou égale à celle dans $\chi_M$ ).