Existence de matrices de polynôme minimal imposé

On considère le polynôme $P(X) = X^3 + 2X + 2$ . L'objectif est de déterminer les dimensions $n \in \mathbb{N}^{*}$ pour lesquelles il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ admettant $P$ pour polynôme minimal $\mu_A$ .

On suppose ici que $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ . Déterminer l'ensemble des entiers $n \geqslant 1$ tels qu'il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ vérifiant $\mu_A = P$ .
On suppose dorénavant que $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ . Déterminer l'ensemble des entiers $n \geqslant 1$ tels qu'il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Q})$ vérifiant $\mu_A = P$ .

1.

Pour la question 1, étudier les racines de $P$ dans $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ . Utiliser le fait que le polynôme caractéristique $\chi_A$ est à coefficients réels et que ses racines sont exactement celles de $\mu_A$ .

2.

Pour la question 2, utiliser le critère d'Eisenstein pour montrer que $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ . Se souvenir que si $\mu_A$ est irréductible, alors $\chi_A$ est une puissance de $\mu_A$ .

3.

Pour la synthèse, penser aux matrices compagnons ou aux matrices diagonales par blocs.

Idées clés

•

Lien entre racines du polynôme minimal et du polynôme caractéristique.

•

Propriété des polynômes à coefficients réels (conjugaison des racines complexes).

•

Irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ via le critère d'Eisenstein.

•

Structure du polynôme caractéristique pour une matrice à polynôme minimal irréductible.

Résolution de la question 1 : Cas réel.

Analyse. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\mu_A = P = X^3 + 2X + 2$ .

L'étude de la fonction $f: x \mapsto x^3 + 2x + 2$ montre que $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ . $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Comme $f(-1) = -1 < 0$ et $f(0) = 2 > 0$ , le théorème des valeurs intermédiaires assure que $P$ possède une unique racine réelle $\alpha \in ]-1, 0[$ .

Les deux autres racines $\beta$ et $\bar{\beta}$ sont donc des complexes non réels conjugués. Le spectre de $A$ dans $\mathbb{C}$ est exactement l'ensemble des racines de $\mu_A$ , donc :

\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A) = \{ \alpha, \beta, \bar{\beta} \}

Soient $m, k, \bar{k}$ les multiplicités respectives de $\alpha, \beta, \bar{\beta}$ en tant que racines du polynôme caractéristique $\chi_A$ . Comme $\chi_A \in \mathbb{R}[X]$ , les racines complexes non réelles doivent apparaître avec la même multiplicité, d'où $k = \bar{k}$ .

La dimension de l'espace est égale au degré de $\chi_A$ , soit :

n = m + k + \bar{k} = m + 2k

Puisque chaque racine de $\mu_A$ doit être racine de $\chi_A$ , on a nécessairement $m \geqslant 1$ et $k \geqslant 1$ . Ainsi, $n = m + 2k$ avec $m \geqslant 1$ et $k \geqslant 1$ implique :

n \geqslant 1 + 2(1) = 3

Vérifions si toutes les valeurs de $n \geqslant 3$ sont possibles. Si $n \geqslant 3$ :

Si $n$ est impair, on peut écrire $n = 2j + 1$ . On choisit $k=1$ et $m = n-2 \geqslant 1$ .
Si $n$ est pair, on peut écrire $n = 2j$ . On choisit $k=1$ et $m = n-2 \geqslant 2$ .

Synthèse. Si $n \geqslant 3$ , la matrice compagnon $C(P) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ a pour polynôme minimal $P$ . On peut alors construire une matrice par blocs $A = \text{diag}(C(P), \alpha, \dots, \alpha) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Le polynôme minimal d'une telle matrice est $\text{ppcm}(\mu_{C(P)}, \mu_{\alpha}) = \text{ppcm}(P, X-\alpha) = P$ car $\alpha$ est racine de $P$ .

\boxed{ n \in \{ n \in \mathbb{N} \mid n \geqslant 3 \} }

Résolution de la question 2 : Cas rationnel.

Analyse. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ telle que $\mu_A = P$ . $P = X^3 + 2X + 2$ est un polynôme à coefficients entiers.

Le nombre $p=2$ est premier et divise tous les coefficients de $P$ sauf le dominant ( $2|2$ et $2|0$ ), et son carré $2^2=4$ ne divise pas le terme constant ( $4 \nmid 2$ ). D'après le critère d'Eisenstein, $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ .

Dans $\mathbb{Q}[X]$ , le polynôme minimal $\mu_A$ et le polynôme caractéristique $\chi_A$ ont les mêmes facteurs irréductibles. Comme $\mu_A = P$ est irréductible, $\chi_A$ est nécessairement de la forme :

\chi_A = P^k   \text{pour un certain } k \in \mathbb{N}^*

En examinant les degrés, on obtient :

n = \deg(\chi_A) = \deg(P^k) = 3k

L'entier $n$ doit donc être un multiple de 3.

Synthèse. Si $n = 3k$ , on considère la matrice diagonale par blocs suivante :

A = \begin{pmatrix} C(P) & & & \ddots & & & C(P) \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3k}(\mathbb{Q})

où

C(P)

est la matrice compagnon de

P

. Le polynôme minimal de

A

est le ppcm des polynômes minimaux des blocs. Ici,

\mu_A = \text{ppcm}(P, \dots, P) = P

.

\boxed{ n \in 3\mathbb{N}^* }

Attention dans la question 1 à ne pas oublier que si $\mu_A = P$ , chaque racine de $P$ doit apparaître au moins une fois dans le spectre de $A$ . On ne peut pas avoir une matrice de taille $n=3$ dont le polynôme minimal serait un diviseur strict de $P$ .