Images et noyaux de polynômes d'endomorphismes

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ . On considère deux polynômes $P$ et $Q$ dans $\mathbb{K}[X]$ .

On définit les polynômes $\Delta$ et $M$ par :

\Delta = \text{pgcd}(P, Q)   \text{et}   M = \text{ppcm}(P, Q)

Déterminer les sous-espaces vectoriels suivants en fonction de $\operatorname{Ker} P(u)$ , $\operatorname{Im} P(u)$ , $\operatorname{Ker} Q(u)$ et $\operatorname{Im} Q(u)$ :

$\operatorname{Ker}(\Delta(u))$ et $\operatorname{Im}(\Delta(u))$ .
$\operatorname{Ker}(M(u))$ et $\operatorname{Im}(M(u))$ .

1.

Pour les noyaux, utiliser les relations de divisibilité $\Delta | P$ et $\Delta | Q$ pour une inclusion, et l'identité de Bézout pour l'autre.

2.

Pour les images, utiliser le fait que les polynômes en $u$ commutent entre eux.

3.

Pour le PPCM, on pourra écrire $M = P Q_1 = Q P_1$ avec $\text{pgcd}(P_1, Q_1) = 1$ et utiliser une identité de Bézout sur $P_1$ et $Q_1$ .

Idées clés

•

Identité de Bézout dans $\mathbb{K}[X]$ : il existe $U, V \in \mathbb{K}[X]$ tels que $UP + VQ = \Delta$ .

•

Propriété de commutativité : pour tout $A, B \in \mathbb{K}[X]$ , $A(u) \circ B(u) = B(u) \circ A(u)$ .

•

Liens entre divisibilité polynomiale et inclusions de noyaux/images.

Résolution.

Étude de $\Delta(u)$ .
Pour le noyau : Comme $\Delta$ divise $P$ , il existe $P_1 \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P = P_1 \Delta$ . Ainsi $P(u) = P_1(u) \circ \Delta(u)$ , ce qui implique $\operatorname{Ker}(\Delta(u)) \subset \operatorname{Ker}(P(u))$ . Par symétrie, $\operatorname{Ker}(\Delta(u)) \subset \operatorname{Ker}(Q(u))$ , donc :
$\operatorname{Ker}(\Delta(u)) \subset \operatorname{Ker}(P(u)) \cap \operatorname{Ker}(Q(u))$
Réciproquement, par le théorème de Bézout, il existe $U, V \in \mathbb{K}[X]$ tels que $UP + VQ = \Delta$ . En appliquant en $u$ , on obtient $\Delta(u) = U(u)P(u) + V(u)Q(u)$ . Si $x \in \operatorname{Ker}(P(u)) \cap \operatorname{Ker}(Q(u))$ , alors $P(u)(x) = 0$ et $Q(u)(x) = 0$ . On en déduit $\Delta(u)(x) = U(u)(0) + V(u)(0) = 0$ , donc $x \in \operatorname{Ker}(\Delta(u))$ .

$\boxed{\operatorname{Ker}(\Delta(u)) = \operatorname{Ker}(P(u)) \cap \operatorname{Ker}(Q(u))}$
Pour l'image : De $P = \Delta P_1$ , on tire $P(u) = \Delta(u) \circ P_1(u)$ , donc $\operatorname{Im}(P(u)) \subset \operatorname{Im}(\Delta(u))$ . De même, $\operatorname{Im}(Q(u)) \subset \operatorname{Im}(\Delta(u))$ . Comme $\operatorname{Im}(\Delta(u))$ est un sous-espace vectoriel :
$\operatorname{Im}(P(u)) + \operatorname{Im}(Q(u)) \subset \operatorname{Im}(\Delta(u))$
Réciproquement, soit $y \in \operatorname{Im}(\Delta(u))$ . Il existe $x \in E$ tel que $y = \Delta(u)(x)$ . En utilisant Bézout : $y = (P(u)U(u) + Q(u)V(u))(x) = P(u)(U(u)(x)) + Q(u)(V(u)(x))$ . Ceci montre que $y \in \operatorname{Im}(P(u)) + \operatorname{Im}(Q(u))$ .

$\boxed{\operatorname{Im}(\Delta(u)) = \operatorname{Im}(P(u)) + \operatorname{Im}(Q(u))}$
Étude de $M(u)$ .
Pour le noyau : Comme $P$ divise $M$ , on a $\operatorname{Ker}(P(u)) \subset \operatorname{Ker}(M(u))$ . De même, $\operatorname{Ker}(Q(u)) \subset \operatorname{Ker}(M(u))$ . Par structure d'espace vectoriel :
$\operatorname{Ker}(P(u)) + \operatorname{Ker}(Q(u)) \subset \operatorname{Ker}(M(u))$
Pour l'inclusion réciproque, posons $P = \Delta P_1$ et $Q = \Delta Q_1$ . On sait que $M = \Delta P_1 Q_1$ et $\text{pgcd}(P_1, Q_1) = 1$ . Il existe $U_1, V_1$ tels que $U_1 P_1 + V_1 Q_1 = 1$ . En composant par $\Delta(u)$ et en appliquant à $x \in \operatorname{Ker}(M(u))$ :
$\Delta(u)(x) = U_1(u)P_1(u)\Delta(u)(x) + V_1(u)Q_1(u)\Delta(u)(x) = U_1(u)P(u)(x) + V_1(u)Q(u)(x)$ Ceci ne suffit pas directement. Utilisons plutôt $x = U_1(u)P_1(u)(x) + V_1(u)Q_1(u)(x)$ . Appliquons $Q(u)$ au premier terme : $Q(u)U_1(u)P_1(u)(x) = U_1(u)M(u)(x) = 0$ car $QP_1 = M$ . Donc $U_1(u)P_1(u)(x) \in \operatorname{Ker}(Q(u))$ . De même, $P(u)V_1(u)Q_1(u)(x) = V_1(u)M(u)(x) = 0$ , donc $V_1(u)Q_1(u)(x) \in \operatorname{Ker}(P(u))$ . Ainsi $x$ est somme d'un élément de $\operatorname{Ker}(Q(u))$ et d'un élément de $\operatorname{Ker}(P(u))$ .

$\boxed{\operatorname{Ker}(M(u)) = \operatorname{Ker}(P(u)) + \operatorname{Ker}(Q(u))}$
Pour l'image : Comme $M = P Q_1 = Q P_1$ , on a $\operatorname{Im}(M(u)) \subset \operatorname{Im}(P(u))$ et $\operatorname{Im}(M(u)) \subset \operatorname{Im}(Q(u))$ . D'où :
$\operatorname{Im}(M(u)) \subset \operatorname{Im}(P(u)) \cap \operatorname{Im}(Q(u))$
Réciproquement, soit $y \in \operatorname{Im}(P(u)) \cap \operatorname{Im}(Q(u))$ . Il existe $a, b \in E$ tels que $y = P(u)(a) = Q(u)(b)$ . En utilisant $U_1 P_1 + V_1 Q_1 = 1$ , on a :
$y = U_1(u)P_1(u)(y) + V_1(u)Q_1(u)(y)$ En remplaçant $y$ par ses deux expressions : $y = U_1(u)P_1(u)Q(u)(b) + V_1(u)Q_1(u)P(u)(a)$ Comme $P_1 Q = M$ et $Q_1 P = M$ , on obtient : $y = U_1(u)M(u)(b) + V_1(u)M(u)(a) = M(u) \left( U_1(u)(b) + V_1(u)(a) \right)$ Ainsi $y \in \operatorname{Im}(M(u))$ .

$\boxed{\operatorname{Im}(M(u)) = \operatorname{Im}(P(u)) \cap \operatorname{Im}(Q(u))}$

Attention à ne pas confondre $\operatorname{Ker}(P(u)) + \operatorname{Ker}(Q(u))$ avec $\operatorname{Ker}(P(u) + Q(u))$ . La somme des noyaux n'est pas le noyau de la somme. Ici, la relation est liée au PPCM.