Finitude des ensembles de noyaux et d'images

Résolution.

1. Soit $\mu_u$ le polynôme minimal de $u$. Notons $\mathcal{D}$ l'ensemble des diviseurs unitaires de $\mu_u$ dans $\mathbb{K}[X]$. Puisque $\mathbb{K}[X]$ est un anneau factoriel et que $\mu_u$ possède un nombre fini de diviseurs irréductibles (comptés avec multiplicité), l'ensemble $\mathcal{D}$ est fini.

   Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Posons $D = \text{pgcd}(P, \mu_u)$. Par définition du PGCD, $D$ divise $P$, donc :

   $$\operatorname{Ker}(D(u)) \subseteq \operatorname{Ker}(P(u))$$
   Réciproquement, par le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $A, B \in \mathbb{K}[X]$ tels que $AP + B\mu_u = D$. En appliquant cette égalité à l'endomorphisme $u$, on obtient :
   $$A(u) \circ P(u) + B(u) \circ \mu_u(u) = D(u)$$
   Comme $\mu_u(u) = 0$, il reste $D(u) = A(u) \circ P(u)$. Si $x \in \operatorname{Ker}(P(u))$, alors $D(u)(x) = A(u)(P(u)(x)) = 0$, donc $x \in \operatorname{Ker}(D(u))$. Ainsi :
   $$\boxed{\operatorname{Ker}(P(u)) = \operatorname{Ker}(D(u))}$$
   On montre de même pour l'image que $\operatorname{Im}(P(u)) \subseteq \operatorname{Im}(D(u))$ (car $D$ divise $P$) et $\operatorname{Im}(D(u)) \subseteq \operatorname{Im}(P(u))$ (car $D(u) = A(u) \circ P(u)$). D'où :
   $$\boxed{\operatorname{Im}(P(u)) = \operatorname{Im}(D(u))}$$
   Comme $D$ est proportionnel à un unique élément de $\mathcal{D}$, on en déduit que $\mathcal{K} = \{ \operatorname{Ker}(D(u)) \mid D \in \mathcal{D} \}$ et $\mathcal{I} = \{ \operatorname{Im}(D(u)) \mid D \in \mathcal{D} \}$. Ces ensembles sont donc finis.

2. Pour montrer que $\mathcal{K}$ et $\mathcal{I}$ ont même cardinal, montrons que les applications $\Phi : D \mapsto \operatorname{Ker}(D(u))$ et $\Psi : D \mapsto \operatorname{Im}(D(u))$ sont des injections de $\mathcal{D}$ dans l'ensemble des sous-espaces de $E$.
   1. Injectivité de $\Phi$ : Soit $D \in \mathcal{D}$. Posons $Q = \mu_u / D$. Par le lemme des noyaux, comme $D$ et $Q$ sont premiers entre eux n'est pas nécessaire ici, mais $\mu_u = D \cdot Q$ avec $D(u)Q(u)=0$. Le polynôme minimal de la restriction de $u$ au sous-espace $F = \operatorname{Ker}(D(u))$, noté $\mu_{u_{|F}}$, divise $D$. De plus, $\operatorname{Im}(Q(u)) \subseteq \operatorname{Ker}(D(u))$. Le polynôme minimal de la restriction de $u$ à $\operatorname{Im}(Q(u))$ est $D$ (voir point suivant). Par conséquent, $D$ divise $\mu_{u_{|F}}$. Par identification de polynômes unitaires, $\mu_{u_{|\operatorname{Ker}(D(u))}} = D$. L'application $D \mapsto \operatorname{Ker}(D(u))$ est donc injective.

   2. Injectivité de $\Psi$ : Soit $D \in \mathcal{D}$ et $v$ la restriction de $u$ au sous-espace $G = \operatorname{Im}(D(u))$. Soit $R = \mu_u / D$. On a $R(u) \circ D(u) = \mu_u(u) = 0$, donc $R(v) = 0$. Ainsi $\mu_v$ divise $R$. Inversement, si $P(v) = 0$, alors $P(u) \circ D(u) = 0$ sur $E$. Donc $\mu_u$ divise $P \cdot D$, ce qui signifie que $R = \mu_u / D$ divise $P$. On en conclut que $\mu_{u_{|\operatorname{Im}(D(u))}} = \mu_u / D$. L'application $D \mapsto \operatorname{Im}(D(u))$ est donc également injective.

3. Comme les deux applications sont injectives sur $\mathcal{D}$, on a :
   $$\boxed{\operatorname{card}(\mathcal{K}) = \operatorname{card}(\mathcal{I}) = \operatorname{card}(\mathcal{D})}$$
   où $\mathcal{D}$ est l'ensemble des diviseurs unitaires du polynôme minimal $\mu_u$. Si la décomposition en facteurs irréductibles de $\mu_u$ est $\mu_u = \prod_{i=1}^k P_i^{\alpha_i}$, alors :
   $$\boxed{\operatorname{card}(\mathcal{D}) = \prod_{i=1}^k (\alpha_i + 1)}$$