Dénombrement des noyaux de polynômes d'un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ .

On considère l'ensemble $\mathcal{K}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ défini par :

\mathcal{K} = \left\{ \ker(P(f)) \mid P \in \mathbb{K}[X] \right\}

Démontrer que l'ensemble $\mathcal{K}$ est de cardinal fini.
Déterminer précisément le cardinal de $\mathcal{K}$ en fonction des propriétés du polynôme minimal de $f$ .

1.

Commencer par montrer que pour tout polynôme $P$ , $\ker(P(f)) = \ker(\text{pgcd}(P, \mu_f)(f))$ , où $\mu_f$ désigne le polynôme minimal de $f$ .

2.

Utiliser la décomposition du polynôme minimal $\mu_f$ en facteurs irréductibles dans $\mathbb{K}[X]$ .

3.

Appliquer le lemme des noyaux pour décomposer $\ker(D(f))$ pour tout diviseur $D$ de $\mu_f$ .

4.

Pour l'étude du cardinal, prouver la croissance stricte de la suite des noyaux itérés associée à chaque facteur irréductible.

Idées clés

•

Lien entre noyaux et diviseurs du polynôme minimal.

•

Utilisation du lemme des noyaux pour la structure en somme directe.

•

Argument de minimalité du degré pour prouver l'injectivité de la correspondance.

1. Finitude de l'ensemble $\mathcal{K$ $K$ .}

Soit $\mu_f$ le polynôme minimal de $f$ . Pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$ , posons $D = \text{pgcd}(P, \mu_f)$ .

D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $U, V \in \mathbb{K}[X]$ tels que $UP + V\mu_f = D$ .

En évaluant en $f$ , puisque $\mu_f(f) = 0$ , on obtient :

U(f) \circ P(f) = D(f)

Ceci implique immédiatement que $\ker(P(f)) \subset \ker(D(f))$ .

Réciproquement, comme $D$ divise $P$ , il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P = QD$ , d'où $P(f) = Q(f) \circ D(f)$ , ce qui donne $\ker(D(f)) \subset \ker(P(f))$ .

Par conséquent, on a l'égalité :

\boxed{\ker(P(f)) = \ker(\text{pgcd}(P, \mu_f)(f))}

L'ensemble $\mathcal{K}$ est donc l'image de l'ensemble des diviseurs unitaires de $\mu_f$ par l'application $D \mapsto \ker(D(f))$ .

Comme un polynôme non nul en dimension finie n'admet qu'un nombre fini de diviseurs unitaires, l'ensemble $\mathcal{K}$ est fini.

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2. Détermination du cardinal.

Soit la décomposition de $\mu_f$ en facteurs irréductibles unitaires distincts dans $\mathbb{K}[X]$ :

\mu_f = \prod_{i=1}^r Q_i^{m_i}

où les $Q_i$ sont irréductibles, deux à deux distincts, et $m_i \in \mathbb{N}^*$ .

Tout diviseur unitaire $D$ de $\mu_f$ s'écrit de manière unique sous la forme :

D = \prod_{i=1}^r Q_i^{k_i}   \text{avec}   0 \leq k_i \leq m_i

D'après le lemme des noyaux, pour un tel $D$ , on a :

\ker(D(f)) = \bigoplus_{i=1}^r \ker(Q_i(f)^{k_i})

Posons $N_{i,k} = \ker(Q_i(f)^k)$ . Pour un indice $i$ fixé, la suite de sous-espaces $(N_{i,k})_{0 \leq k \leq m_i}$ est croissante au sens de l'inclusion.

Montrons que cette croissance est stricte. Supposons qu'il existe $k < m_i$ tel que $N_{i,k} = N_{i,k+1}$ .

Par un argument classique sur les suites de noyaux itérés, la suite stationne à partir du rang $k$ , donc $N_{i,k} = N_{i,m_i}$ .

Considérons alors le polynôme $M = \left( \prod_{j \neq i} Q_j^{m_j} \right) \cdot Q_i^k$ .

D'après le lemme des noyaux appliqué à $\mu_f$ , on a $E = \left( \bigoplus_{j \neq i} N_{j, m_j} \right) \oplus N_{i, m_i}$ .

Or, par hypothèse, $N_{i, m_i} = N_{i, k}$ , donc $E = \left( \bigoplus_{j \neq i} N_{j, m_j} \right) \oplus N_{i, k}$ , ce qui signifie que $M(f) = 0$ .

Ceci contredit la définition du polynôme minimal $\mu_f$ , car $\deg(M) < \deg(\mu_f)$ .

Ainsi, pour chaque $i$ , on a les inclusions strictes :

\{0\} = N_{i,0} \subsetneq N_{i,1} \subsetneq \dots \subsetneq N_{i,m_i}

L'application $(k_1, \dots, k_r) \mapsto \bigoplus_{i=1}^r N_{i,k_i}$ est donc injective sur l'ensemble des indices.

Le nombre de choix pour chaque $k_i$ est $m_i + 1$ . Le cardinal de $\mathcal{K}$ est donc :

\boxed{\text{card}(\mathcal{K}) = \prod_{i=1}^r (m_i + 1)}

Une erreur fréquente est de penser que le cardinal est simplement lié au degré du polynôme minimal ou au nombre de ses diviseurs sans vérifier l'injectivité de l'application $D \mapsto \ker(D(f))$ . La croissance stricte des noyaux itérés est l'argument clé.