Existence d'un hyperplan stable en dimension impaire

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur le corps $\mathbb{R}$ . On suppose que l'entier $n$ est impair.

Montrer que pour tout endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ , il existe au moins un hyperplan de $E$ stable par $u$ .

1.

Rappeler pourquoi un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension impaire possède toujours au moins une valeur propre réelle.

2.

Utiliser l'endomorphisme transposé $u^*$ agissant sur l'espace dual $E^*$ .

3.

Faire le lien entre les vecteurs propres de $u^*$ et les hyperplans stables de $u$ .

Idées clés

•

Propriété des polynômes réels de degré impair (théorème des valeurs intermédiaires).

•

Dualité : lien entre stabilité d'un sous-espace et stabilité de son orthogonal (ou noyau d'une forme linéaire).

•

Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Résolution.

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ . Considérons son polynôme caractéristique $\chi_u = \det(XI - u)$ .

C'est un polynôme à coefficients réels de degré $n$ . Par hypothèse, $n$ est un entier impair.

D'après les limites d'un polynôme de degré impair en l'infini :

\lim_{x \to -\infty} \chi_u(x) = -\infty   \text{et}   \lim_{x \to +\infty} \chi_u(x) = +\infty

(ou l'inverse selon le signe du coefficient dominant).

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, le polynôme $\chi_u$ admet au moins une racine réelle $\lambda \in \mathbb{R}$ .

\boxed{\text{L'endomorphisme } u \text{ possède au moins une valeur propre réelle.}}

Considérons maintenant l'espace dual $E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{R})$ . On sait que $\dim(E^*) = \dim(E) = n$ .

Soit $u^* \in \mathcal{L}(E^*)$ l'endomorphisme transposé de $u$ , défini par :

\forall \varphi \in E^*,   u^*(\varphi) = \varphi \circ u

Le polynôme caractéristique de $u^*$ est identique à celui de $u$ : $\chi_{u^*} = \chi_u$ .

Puisque $\dim(E^*)$ est impair, le résultat précédent s'applique à $u^*$ . Il existe donc une valeur propre réelle $\mu \in \mathbb{R}$ pour $u^*$ .

Soit $\varphi \in E^* \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé à cette valeur propre $\mu$ . On a :

\boxed{u^*(\varphi) = \mu \varphi}

Définissons l'ensemble $H = \ker(\varphi)$ .

Comme $\varphi$ est une forme linéaire non nulle sur $E$ , son noyau $H$ est un hyperplan de $E$ .

Montrons que $H$ est stable par $u$ . Soit $x \in H$ . Par définition, $\varphi(x) = 0$ .

Calculons l'image de $u(x)$ par la forme linéaire $\varphi$ :

\varphi(u(x)) = (u^*(\varphi))(x)

En utilisant le fait que $\varphi$ est un vecteur propre de $u^*$ :

\varphi(u(x)) = (\mu \varphi)(x) = \mu \varphi(x)

Comme $x \in \ker(\varphi)$ , on obtient :

\varphi(u(x)) = \mu \times 0 = 0

Ainsi, $u(x) \in \ker(\varphi)$ , ce qui prouve que $u(x) \in H$ .

\boxed{H \text{ est un hyperplan de } E \text{ stable par } u}

L'existence d'une valeur propre réelle garantit l'existence d'une droite stable (engendrée par un vecteur propre). Pour obtenir un hyperplan stable, il est crucial de passer par le dual $E^*$ ou par l'orthogonalité dans un cadre euclidien.