Réduction en blocs de taille 2

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ . On considère un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ dont le polynôme minimal $\pi_u$ est de la forme $\pi_u = X^2 + aX + b$ , avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ tel que le discriminant $\Delta = a^2 - 4b$ soit strictement négatif.

Montrer que l'endomorphisme $u$ n'admet aucune valeur propre réelle. En déduire que la dimension $n$ de l'espace $E$ est nécessairement paire.
Soit $x$ $x$ un vecteur non nul de $E$ $E$ . On définit le sous-espace $P_x = \operatorname{Vect}(x, u(x))$ $P_{x} = Vect (x, u (x))$ .
1. Montrer que $P_x$ est un plan stable par $u$ .
2. Montrer que $P_x$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ et contenant $x$ .
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ . On suppose que $x \in E$ n'appartient pas à $F$ . Montrer que $F \cap P_x = \{0\}$ .
En déduire qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs de la forme : $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} C & & (0) & \ddots & (0) & & C \end{pmatrix} \text{avec} C = \begin{pmatrix} 0 & -b 1 & -a \end{pmatrix}$
Application : On suppose ici que $u^2 + \operatorname{Id}_E = 0$ . Préciser la forme de la matrice obtenue à la question précédente.

1.

Pour la question 1, utiliser le lien entre les racines du polynôme minimal et le spectre, puis considérer le degré du polynôme caractéristique.

2.

Pour la question 2(b), raisonner par l'absurde sur la dimension d'un éventuel sous-espace stable plus petit.

3.

Pour la question 3, considérer un vecteur non nul $z \in F \cap P_x$ et montrer que cela impliquerait $P_z \subset F$ , puis $x \in F$ .

4.

Pour la question 4, procéder par récurrence sur la dimension ou par construction d'une somme directe de plans stables.

Idées clés

•

Lien spectre / polynôme annulateur.

•

Stabilité et minimalité des plans associés aux polynômes irréductibles de degré 2.

•

Construction d'une base par concaténation de bases de plans en somme directe.

Résolution.

Valeurs propres et parité de la dimension. Soit $\lambda$ une valeur propre réelle de $u$ . Alors $\lambda$ doit être une racine de tout polynôme annulateur de $u$ , et en particulier du polynôme minimal $\pi_u$ . Or, par hypothèse, le discriminant de $\pi_u = X^2 + aX + b$ est strictement négatif ( $\Delta < 0$ ), donc $\pi_u$ n'admet aucune racine réelle. On en déduit : $\boxed{\operatorname{Sp}_{\mathbb{R}}(u) = \emptyset}$
Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est un polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré $n$ . S'il était de degré impair, le théorème des valeurs intermédiaires assurerait l'existence d'au moins une racine réelle (les limites en $\pm \infty$ étant opposées). Comme $\chi_u$ n'a pas de racine réelle, son degré $n$ est nécessairement pair.
$\boxed{n \in 2\mathbb{N}^*}$
Étude du plan $P_x$ .
1. Soit $x \neq 0$ . La famille $(x, u(x))$ est libre car sinon $x$ serait un vecteur propre de $u$ , ce qui est exclu par la question 1. Ainsi, $P_x$ est un plan (dimension 2). Pour la stabilité, soit $z \in P_x$ . Il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tels que $z = \lambda x + \mu u(x)$ . Alors $u(z) = \lambda u(x) + \mu u^2(x)$ . Comme $u^2 + au + b\operatorname{Id} = 0$ , on a $u^2(x) = -au(x) - bx$ . D'où $u(z) = -b\mu x + (\lambda - a\mu) u(x) \in P_x$ . $\boxed{u(P_x) \subset P_x}$
2. Soit $V$ un sous-espace stable contenant $x$ . Alors $V$ contient $u(x)$ par stabilité. Par conséquent, $\operatorname{Vect}(x, u(x)) \subset V$ , soit $P_x \subset V$ . $P_x$ est donc bien le plus petit sous-espace stable contenant $x$ .
Somme directe avec un sous-espace stable. Supposons par l'absurde que $F \cap P_x \neq \{0\}$ . Soit $z \in F \cap P_x$ avec $z \neq 0$ . Puisque $z \in P_x$ et que $P_x$ est stable, le sous-espace $P_z = \operatorname{Vect}(z, u(z))$ est inclus dans $P_x$ . Comme $\dim P_z = 2$ (car $z \neq 0$ ) et $\dim P_x = 2$ , on a $P_z = P_x$ . Or, $z \in F$ et $F$ est stable par $u$ , donc $u(z) \in F$ . On en déduit que $P_z \subset F$ . Ainsi $P_x \subset F$ , ce qui implique $x \in F$ . C'est une contradiction. $\boxed{F \cap P_x = \{0\}}$
Réduction par blocs. On construit une suite de sous-espaces stables en somme directe. Initialisation : Soit $x_1 \neq 0$ . On pose $F_1 = P_{x_1}$ . C'est un plan stable. Hérédité : Supposons avoir construit $F_k = P_{x_1} \oplus \dots \oplus P_{x_k}$ , sous-espace stable de dimension $2k$ . Si $2k < n$ , il existe $x_{k+1} \in E \setminus F_k$ . D'après la question 3, $F_k \cap P_{x_{k+1}} = \{0\}$ . On peut donc poser $F_{k+1} = F_k \oplus P_{x_{k+1}}$ , qui est stable et de dimension $2k+2$ . Le processus s'arrête quand $2k = n$ . On a alors $E = P_{x_1} \oplus \dots \oplus P_{x_p}$ avec $n=2p$ . Dans chaque plan $P_{x_i}$ , la matrice de la restriction de $u$ dans la base $(x_i, u(x_i))$ est : $\operatorname{Mat}_{(x_i, u(x_i))}(u_{|P_{x_i}}) = \begin{pmatrix} 0 & -b 1 & -a \end{pmatrix}$ car $u(x_i) = 0 \cdot x_i + 1 \cdot u(x_i)$ et $u(u(x_i)) = -b x_i - a u(x_i)$ . En concaténant ces bases, on obtient la matrice diagonale par blocs annoncée.
Cas particulier $u^2 + \operatorname{Id$ = 0 $u^{2} + Id = 0$ .} Ici $\pi_u = X^2 + 1$ , donc $a=0$ et $b=1$ . Chaque bloc diagonal est de la forme : $\boxed{C = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}}$

Attention à l'ordre des vecteurs dans la base. Pour obtenir la matrice compagnon $\begin{pmatrix} 0 & -b 1 & -a \end{pmatrix}$ , il faut impérativement choisir la base $(x, u(x))$ . Si on choisit $(u(x), x)$ , la matrice sera différente.