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Stabilité en dimension infinie et arithmétique

dimension infiniecorps des rationnelsidéauxmatrice compagnonPolynôme caractéristiqueIrréductibilité sur QIdéaux de K[X]

On étudie ici des variantes de l'existence de sous-espaces stables selon la nature de l'espace EE ou du corps de base.

  1. Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension infinie et u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E). Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel FF de EE, stable par uu, tel que F≠{0}F \neq \{0\} et F≠EF \neq E.

  2. On considère l'espace E=R[X]E = \mathbb{R}[X] et l'endomorphisme u:P↦XPu : P \mapsto XP. Déterminer tous les sous-espaces de EE stables par uu.

  3. Soit M=(002100010)∈M3(Q)M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2
    1 & 0 & 0
    0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{Q})    . Montrer que MM ne possède aucun sous-espace stable de dimension 1 ou 2 dans Q3\mathbb{Q}^3.

1.

Pour la question 1, considérer l'espace engendré par les itérés uk(x)u^k(x) pour un vecteur xx bien choisi.

2.

Pour la question 2, faire le lien entre sous-espaces stables et idéaux de l'anneau des polynômes.

3.

Pour la question 3, calculer le polynôme caractéristique et étudier son irréductibilité sur Q\mathbb{Q}.

Idées clés

•

Sous-espace cyclique engendré par un vecteur.

•

Structure des idéaux de K[X]K[X].

•

Lien entre sous-espaces stables et diviseurs du polynôme minimal.

Résolution.

  1. Soit x∈Ex \in E un vecteur non nul. Considérons le sous-espace F=Vect⁡({uk(x)∣k∈N})F = \operatorname{Vect}(\{u^k(x) \mid k \in \mathbb{N}\}). Par construction, FF est stable par uu et x∈Fx \in F, donc F≠{0}F \neq \{0\}. Si F≠EF \neq E, on a trouvé un sous-espace stable non trivial. Si pour tout x≠0x \neq 0, on a F=EF = E, alors EE serait de dimension finie au plus égale au degré d'un polynôme annulateur de xx. Or EE est de dimension infinie. Ainsi, il existe nécessairement xx tel que FF soit de dimension finie (donc F≠EF \neq E) ou FF de dimension infinie mais strictement inclus dans EE.
    ∃F stable,{0}⊊F⊊E\boxed{\exists F \text{ stable}, \{0\} \subsetneq F \subsetneq E}

  2. Soit FF un sous-espace stable de R[X]\mathbb{R}[X] pour u:P↦XPu : P \mapsto XP. Dire que FF est stable par uu revient à dire que pour tout P∈FP \in F, XP∈FXP \in F. Par récurrence, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, XnP∈FX^n P \in F. Par linéarité, pour tout Q∈R[X]Q \in \mathbb{R}[X], QP∈FQP \in F. FF est donc un idéal de l'anneau R[X]\mathbb{R}[X]. Puisque R[X]\mathbb{R}[X] est principal, il existe un polynôme AA tel que F=AR[X]F = A\mathbb{R}[X].
    Les sev stables sont les ensembles {AP∣P∈R[X]} pour A∈R[X]\boxed{\text{Les sev stables sont les ensembles } \{ AP \mid P \in \mathbb{R}[X] \} \text{ pour } A \in \mathbb{R}[X]}

  3. Le polynôme caractéristique de MM est χM(X)=X3−2\chi_M(X) = X^3 - 2. D'après le critère d'Eisenstein (ou simplement par l'absence de racine rationnelle, car les seules racines possibles seraient ±1,±2\pm 1, \pm 2), χM\chi_M est irréductible sur Q\mathbb{Q}. Tout sous-espace stable par MM de dimension d∈{1,2}d \in \{1, 2\} induirait un polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit qui diviserait χM\chi_M dans Q[X]\mathbb{Q}[X]. Or, χM\chi_M étant irréductible de degré 3, il n'admet aucun diviseur de degré 1 ou 2 dans Q[X]\mathbb{Q}[X].
    M n’admet aucun sous-espace stable de dimension 1 ou 2 sur Q\boxed{M \text{ n'admet aucun sous-espace stable de dimension 1 ou 2 sur } \mathbb{Q}}

Dans la question 3, il est crucial de préciser que l'on travaille sur le corps Q\mathbb{Q}. Sur R\mathbb{R}, la matrice MM admettrait une droite stable (puisque X3−2X^3-2 a une racine réelle 23\sqrt[3]{2}).