Irreductibilite et stabilite | WikiPrépa Maths

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ et $u$ un endomorphisme de $E$ . On se propose de démontrer l'équivalence entre la simplicité de l'endomorphisme (absence de sous-espaces stables non triviaux) et l'irréductibilité de ses polynômes associés.

Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

Les seuls sous-espaces de $E$ stables par $u$ sont $\{0\}$ et $E$ .
Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est irréductible dans $K[X]$ .
L'endomorphisme $u$ est cyclique et son polynôme minimal $\mu_u$ est irréductible dans $K[X]$ .

1.

Pour $(2) \implies (1)$ , utiliser le fait que si $F$ est un sous-espace stable, alors le polynôme caractéristique de la restriction $u_{|F}$ divise $\chi_u$ .

2.

Pour $(1) \implies (3)$ , montrer d'abord que $u$ est cyclique en considérant le sous-espace engendré par les itérés d'un vecteur non nul. Pour l'irréductibilité de $\mu_u$ , raisonner par l'absurde en utilisant les noyaux de facteurs du polynôme.

3.

Pour $(3) \implies (2)$ , utiliser la propriété fondamentale des endomorphismes cycliques liant $\chi_u$ et $\mu_u$ .

Idées clés

•

Lien entre stabilité et divisibilité des polynômes (restriction).

•

Structure des endomorphismes cycliques ( $\chi_u = \mu_u$ ).

•

Lemme des noyaux et sous-espaces stables.

Démontrons $(2) \implies (1)$ .

Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ . On note $u_F$ la restriction de $u$ à $F$ . On sait que le polynôme caractéristique de la restriction, noté $\chi_{u_F}$ , divise le polynôme caractéristique de l'endomorphisme total $\chi_u$ .

Or, par hypothèse, $\chi_u$ est irréductible dans $K[X]$ . Ses seuls diviseurs unitaires sont donc $1$ et $\chi_u$ . Comme $\deg(\chi_{u_F}) = \dim(F)$ , nous avons deux possibilités :

Soit $\chi_{u_F} = 1$ , ce qui implique $\dim(F) = 0$ , d'où $F = \{0\}$ .
Soit $\chi_{u_F} = \chi_u$ , ce qui implique $\dim(F) = n$ , d'où $F = E$ .

On en conclut que :

\boxed{\text{Les seuls sous-espaces stables sont } \{0\} \text{ et } E.}

Démontrons $(1) \implies (3)$ .

Étape 1 : $u$ est cyclique. Soit $x$ un vecteur non nul de $E$ . On considère le sous-espace cyclique engendré par $x$ :

E_x = \text{Vect}\left(\{u^k(x) \mid k \in \mathbb{N}\}\right)

Par construction, $E_x$ est stable par $u$ . Comme $x \neq 0$ , $E_x$ n'est pas réduit à $\{0\}$ . D'après l'hypothèse (1), on a nécessairement $E_x = E$ . L'existence d'un vecteur dont la famille des itérés engendre $E$ signifie par définition que :

\boxed{u \text{ est un endomorphisme cyclique.}}

Étape 2 : $\mu_u$ est irréductible. Supposons par l'absurde que $\mu_u$ ne soit pas irréductible. Il existe alors deux polynômes non constants $A$ et $B$ tels que $\mu_u = AB$ . On considère le sous-espace $F = \ker A(u)$ . $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ car $u$ et $A(u)$ commutent.

Si $F = E$ , alors $A(u) = 0$ . Par définition du polynôme minimal, $\mu_u$ devrait diviser $A$ . Cela est impossible car $\deg(A) < \deg(AB) = \deg(\mu_u)$ .
Si $F = \{0\}$ , alors $A(u)$ est un endomorphisme injectif. Puisque $E$ est de dimension finie, $A(u)$ est un automorphisme. Or, on a $\mu_u(u) = A(u)B(u) = 0$ . En composant par $A(u)^{-1}$ à gauche, on obtient $B(u) = 0$ . Ceci implique que $\mu_u$ divise $B$ , ce qui est impossible car $\deg(B) < \deg(\mu_u)$ .

Ainsi, $F$ serait un sous-espace stable non trivial, ce qui contredit (1).

\boxed{\mu_u \text{ est donc irréductible.}}

Démontrons $(3) \implies (2)$ .

On utilise un résultat classique sur les endomorphismes cycliques : un endomorphisme est cyclique si et seulement si son polynôme minimal est égal (au signe près) à son polynôme caractéristique. Ici, $u$ est cyclique, donc :

\chi_u = \mu_u \text{ (à un facteur } (-1)^n \text{ près)}

Comme $\mu_u$ est supposé irréductible dans $K[X]$ , il en résulte immédiatement que :

\boxed{\chi_u \text{ est irréductible dans } K[X].}

L'irréductibilité dépend crucialement du corps $K$ . Par exemple, le polynôme $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ (donc une rotation d'angle $\pi/2$ dans $\mathbb{R}^2$ n'a pas de droite stable), mais il est scindé sur $\mathbb{C}$ (la même rotation possède deux droites propres complexes).