Décomposition de Dunford d'une matrice par blocs

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère une matrice $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $P^2 = P$ et une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . On définit la matrice $M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$ par la structure de blocs suivante :

M = \begin{pmatrix} I_n & A 0 & P \end{pmatrix}

Justifier que le polynôme caractéristique de $M$ est scindé sur $\mathbb{K}$ .
Déterminer la décomposition de Dunford de $M$ , c'est-à-dire l'unique couple $(D, N) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})^2$ tel que $M = D + N$ , avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $D N = N D$ .
En déduire une expression de $M^k$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ .

1.

Pour la question 1, utiliser la structure triangulaire par blocs pour calculer le polynôme caractéristique.

2.

Pour la question 2, on peut chercher $N$ sous la forme d'un polynôme en $M$ . Calculer $M^2 - M$ .

3.

Une fois $D$ et $N$ identifiés, vérifier soigneusement que $D$ est diagonalisable (par exemple en montrant qu'elle est un projecteur) et que $N$ est nilpotente.

4.

Pour la question 3, utiliser la formule du binôme de Newton, qui s'applique car $D$ et $N$ commutent.

Idées clés

•

La décomposition de Dunford $(D, N)$ est caractérisée par le fait que $D$ et $N$ sont des polynômes en $M$ .

•

Une matrice est diagonalisable si elle annule un polynôme scindé à racines simples (ici $X(X-1)$ pour un projecteur).

•

Pour une matrice triangulaire par blocs $M = \begin{pmatrix} A & B 0 & C \end{pmatrix}$ , on a $\chi_M = \chi_A \chi_C$ .

Résolution.

Par la propriété du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, on a : $\chi_M(X) = \det(X I_{2n} - M) = \det(X I_n - I_n) \det(X I_n - P)$
D'où :
$\chi_M(X) = (X-1)^n \chi_P(X)$
Comme $P$ est un projecteur, $P$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont incluses dans $\{0, 1\}$ . Ainsi, $\chi_P(X) = X^{n-r}(X-1)^r$ où $r = \text{rg}(P)$ . Le polynôme caractéristique de $M$ est donc :
$\boxed{\chi_M(X) = X^{n-r}(X-1)^{n+r}}$
Ce polynôme est bien scindé sur $\mathbb{K}$ .
Cherchons la décomposition $M = D + N$ . Calculons les premières puissances de $M$ . $M^2 = \begin{pmatrix} I_n & A 0 & P \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & A 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n & A + AP 0 & P^2 \end{pmatrix}$
Comme $P^2 = P$ , on obtient :
$M^2 = \begin{pmatrix} I_n & A + AP 0 & P \end{pmatrix}$
Considérons la matrice $N = M^2 - M$ . On a :
$N = \begin{pmatrix} I_n & A + AP 0 & P \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} I_n & A 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & AP 0 & 0 \end{pmatrix}$
On remarque immédiatement que $N^2 = 0$ , donc $N$ est nilpotente. Définissons alors $D = M - N$ :
$D = \begin{pmatrix} I_n & A 0 & P \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & AP 0 & 0 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} I_n & A - AP 0 & P \end{pmatrix}}$
Vérifions que $D$ est diagonalisable. Calculons $D^2$ :
$D^2 = \begin{pmatrix} I_n & A - AP 0 & P \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & A - AP 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n & (A - AP) + (A - AP)P 0 & P^2 \end{pmatrix}$
Or $(A - AP)P = AP - AP^2 = AP - AP = 0$ . Donc :
$D^2 = \begin{pmatrix} I_n & A - AP 0 & P \end{pmatrix} = D$
La matrice $D$ est un projecteur, elle est donc diagonalisable. Enfin, comme $N = M^2 - M$ et $D = 2M - M^2$ sont des polynômes en $M$ , elles commutent nécessairement. Par unicité de la décomposition de Dunford, on conclut que :
$\boxed{D = \begin{pmatrix} I_n & A - AP 0 & P \end{pmatrix} \text{et} N = \begin{pmatrix} 0 & AP 0 & 0 \end{pmatrix}}$
Puisque $DN = ND$ , on peut utiliser la formule du binôme de Newton. Comme $N^j = 0$ pour tout $j \ge 2$ , pour tout $k \ge 1$ : $M^k = (D + N)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} N^j D^{k-j} = D^k + k N D^{k-1}$
Comme $D$ est un projecteur, $D^j = D$ pour tout $j \ge 1$ . De plus :
$ND = \begin{pmatrix} 0 & AP 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & A-AP 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & AP^2 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & AP 0 & 0 \end{pmatrix} = N$
On en déduit par récurrence ou par calcul direct que $N D^{k-1} = N$ . Ainsi :
$M^k = D + k N = \begin{pmatrix} I_n & A - AP 0 & P \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & k AP 0 & 0 \end{pmatrix}$
Finalement :
$\boxed{M^k = \begin{pmatrix} I_n & A + (k-1)AP 0 & P \end{pmatrix}}$

Une erreur classique consiste à oublier de vérifier que $D$ et $N$ sont des polynômes en $M$ . Sans cette condition (ou sans vérifier explicitement qu'elles commutent), l'unicité de la décomposition n'est pas garantie. Ici, le calcul de $M^2-M$ fournit directement cette preuve.