Algorithme de Newton et décomposition de Dunford

Résolution.

1. Soit $\chi_A = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{m_i}$ la décomposition de $\chi_A$ en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$. On sait que $\lambda_i$ est racine de $\chi_A$ avec la multiplicité $m_i$, donc elle est racine de $\chi_A'$ avec la multiplicité $m_i - 1$. Ainsi, $\text{pgcd}(\chi_A, \chi_A') = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{m_i - 1}$. En effectuant le quotient, on obtient :
   $$\boxed{P = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)}$$

2. 1. Le polynôme $P$ possède les mêmes racines que $\chi_A$. Soit $m = \max(m_1, \dots, m_r)$. On a alors $\chi_A$ qui divise $P^m$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $\chi_A(A) = 0$, donc $(P(A))^m = 0$. La matrice $P(A)$ est donc bien nilpotente.

   2. Les racines de $P$ sont toutes simples par construction. Il en résulte que $P$ et son polynôme dérivé $P'$ n'ont aucune racine commune dans $\mathbb{C}$. D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $U, V \in \mathbb{C}[X]$ tels que :
      $$UP + VP' = 1$$
      En évaluant en $A$, on obtient $U(A)P(A) + V(A)P'(A) = I$. Comme $P(A)$ est nilpotente, $U(A)P(A)$ est également nilpotente. Or, si $N$ est nilpotente, $I-N$ est inversible (d'inverse $\sum N^k$). Ici, $V(A)P'(A) = I - U(A)P(A)$ est inversible. Comme $V(A)$ et $P'(A)$ commutent, $P'(A)$ est inversible. De plus, l'inverse de $I - U(A)P(A)$ est un polynôme en $A$, donc :
      $$\boxed{P'(A)^{-1} = (I - U(A)P(A))^{-1} V(A) \in \mathbb{C}[A]}$$

3. 1. Par définition, $B = A - P'(A)^{-1}P(A)$. Comme $P(A) \in \mathbb{C}[A]$ et $P'(A)^{-1} \in \mathbb{C}[A]$, on en déduit immédiatement par stabilité de l'algèbre $\mathbb{C}[A]$ que :
      $$\boxed{B \in \mathbb{C}[A]}$$

   2. Puisque $B$ est un polynôme en $A$, $A$ et $B$ commutent. Ils sont donc simultanément trigonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Soit $\mu$ une valeur propre de $A$. La valeur propre correspondante pour $B$ est :
      $$f(\mu) = \mu - \frac{P(\mu)}{P'(\mu)}$$
      Or, pour toute valeur propre $\lambda_i$ de $A$, on a $P(\lambda_i) = 0$. Donc $f(\lambda_i) = \lambda_i$. Les spectres de $A$ et $B$ sont identiques, avec les mêmes multiplicités (car les matrices sont trigonalisables avec les mêmes éléments diagonaux dans une base commune). Ainsi, $\boxed{\chi_B = \chi_A}$.

4. La formule de Taylor pour un polynôme $P$ à l'ordre $d = \deg P$ s'écrit :
   $$P(X+Y) = \sum_{k=0}^d \frac{P^{(k)}(X)}{k!} Y^k = P(X) + P'(X)Y + Y^2 \left( \sum_{k=2}^d \frac{P^{(k)}(X)}{k!} Y^{k-2} \right)$$
   En posant $Q(X, Y) = \sum_{k=2}^d \frac{P^{(k)}(X)}{k!} Y^{k-2}$, qui est bien un polynôme en $X$ et $Y$, on obtient le résultat.

5. La suite est bien définie si à chaque étape $P'(A_k)$ est inversible. Comme chaque $A_k$ est un polynôme en $A$, toutes les matrices $A_k$ commutent. De la même façon qu'à la question 2(b), comme $A_k$ a le même spectre que $A$ (par récurrence immédiate), $P'(A_k)$ n'a pas $0$ pour valeur propre. Montrons par récurrence la propriété $P(A_k) \in (P(A)^{2^k}) \mathbb{C}[A]$. Pour $k=0$, $P(A_0) = P(A)^{2^0} \cdot 1$. Supposons la propriété au rang $k$. On utilise la formule de la question 4 avec $X = A_k$ et $Y = -P'(A_k)^{-1}P(A_k)$ :
   $$P(A_{k+1}) = P(A_k) + P'(A_k)\left(-P'(A_k)^{-1}P(A_k)\right) + \left(P'(A_k)^{-1}P(A_k)\right)^2 Q(A_k, Y)$$
   Le calcul se simplifie en :
   $$P(A_{k+1}) = P(A_k) - P(A_k) + P(A_k)^2 \left( P'(A_k)^{-1} \right)^2 Q(A_k, Y) = P(A_k)^2 \cdot S_k(A)$$
   Par hypothèse de récurrence, $P(A_k) = P(A)^{2^k} R_k(A)$, donc :
   $$P(A_{k+1}) = (P(A)^{2^k})^2 R_k(A)^2 S_k(A) = P(A)^{2^{k+1}} R_{k+1}(A)$$
   Ceci achève la récurrence.

6. Comme $P(A)$ est nilpotente, il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $P(A)^m = 0$. Pour $k$ suffisamment grand, on a $2^k \ge m$, donc $P(A)^{2^k} = 0$, ce qui implique $P(A_k) = 0$. Dès lors, $A_{k+1} = A_k - P'(A_k)^{-1} \cdot 0 = A_k$. La suite est stationnaire à une matrice $D$. Comme $A_k \in \mathbb{C}[A]$ pour tout $k$, par passage à la limite (ici stationnaire), $\boxed{D \in \mathbb{C}[A]}$. Puisque $P(D) = 0$ et que $P$ est scindé à racines simples, $D$ est diagonalisable. Enfin, $N = A - D = \sum_{j=0}^{k-1} (A_j - A_{j+1}) = \sum_{j=0}^{k-1} P'(A_j)^{-1}P(A_j)$. Chaque terme de la somme est un polynôme en $A$ sans constante vis-à-vis des valeurs propres (car $P(\lambda_i)=0$), ou plus simplement, $N$ est un polynôme en $A$ dont toutes les valeurs propres sont nulles (car $\text{Sp}(D) = \text{Sp}(A)$ et ils commutent), donc $\boxed{N \text{ est nilpotente}}$.