Caractérisation par les rangs des puissances

Pour tout entier $p \in \mathbb{N}^*$ , on note $J_p \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ la matrice dont les coefficients sont définis par $(J_p)_{i,j} = 1$ si $j = i+1$ et $(J_p)_{i,j} = 0$ sinon.

Soit $M \in \mathcal{M}_N(\mathbb{K})$ une matrice diagonale par blocs de la forme :

M = \text{diag}(\underbrace{J_1, \dots, J_1}_{n_1 \text{ fois}}, \underbrace{J_2, \dots, J_2}_{n_2 \text{ fois}}, \dots, \underbrace{J_n, \dots, J_n}_{n_n \text{ fois}})

où les

n_i

sont des entiers naturels.

Exprimer, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ , le rang de la matrice $M^k$ en fonction des coefficients $n_1, n_2, \dots, n_n$ .
En déduire que la donnée des rangs des puissances successives de $M$ détermine de manière unique les entiers $n_i$ . On donnera une expression explicite de chaque $n_i$ en fonction des rangs de $M^{i-1}, M^i$ et $M^{i+1}$ .

1.

Commencer par déterminer le rang de $J_p^k$ pour différentes valeurs de $k$ en interprétant la matrice comme un endomorphisme de décalage.

2.

Utiliser la structure diagonale par blocs : le rang d'une telle matrice est la somme des rangs de ses blocs.

3.

Pour la question 2, introduire la suite $r_k = \text{rg}(M^k)$ et étudier les différences successives $r_k - r_{k+1}$ .

Idées clés

•

Propriété du rang pour les matrices diagonales par blocs.

•

Étude des puissances d'un bloc nilpotent élémentaire (matrice de décalage).

•

Utilisation de différences finies pour isoler les coefficients $n_i$ .

1. Calcul du rang de $M^k$

Soit $p \in \{1, \dots, n\}$ . La matrice $J_p$ est la matrice d'un endomorphisme $u$ qui transforme les vecteurs d'une base $(e_1, \dots, e_p)$ selon le schéma $e_p \to e_{p-1} \to \dots \to e_1 \to 0$ .

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , la matrice $J_p^k$ agit comme un décalage de $k$ crans. Ses colonnes non nulles sont les images des $p-k$ derniers vecteurs de la base, si $k < p$ .

On en déduit le rang d'un bloc élémentaire :

\forall k \in \mathbb{N},   \text{rg}(J_p^k) = \max(0, p-k)

Comme $M^k$ est une matrice diagonale par blocs, son rang est la somme des rangs de ses blocs :

\text{rg}(M^k) = \sum_{p=1}^n n_p \cdot \text{rg}(J_p^k)

En injectant l'expression du rang de $J_p^k$ , on obtient :

\boxed{\text{rg}(M^k) = \sum_{p=k+1}^n n_p (p-k)}

2. Expression de $n_i$ en fonction des rangs

Posons $r_k = \text{rg}(M^k)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ . Notons que $r_k = 0$ pour tout $k \ge n$ . Calculons la différence entre deux rangs consécutifs pour simplifier l'expression :

r_k - r_{k+1} = \sum_{p=k+1}^n n_p (p-k) - \sum_{p=k+2}^n n_p (p-k-1)

En isolant le premier terme de la première somme :

r_k - r_{k+1} = n_{k+1}(1) + \sum_{p=k+2}^n n_p \left[ (p-k) - (p-k-1) \right]

Ce qui se simplifie en :

\boxed{r_k - r_{k+1} = \sum_{p=k+1}^n n_p}

Cette quantité représente la somme du nombre de blocs de taille au moins $k+1$ . Pour isoler un coefficient $n_i$ précis, nous effectuons une seconde différence :

(r_{i-1} - r_i) - (r_i - r_{i+1}) = \sum_{p=i}^n n_p - \sum_{p=i+1}^n n_p

L'unique terme restant dans la différence est $n_i$ . On obtient ainsi la formule finale :

\boxed{n_i = \text{rg}(M^{i-1}) - 2\text{rg}(M^i) + \text{rg}(M^{i+1})}

Puisque chaque $n_i$ est entièrement déterminé par les rangs des puissances de $M$ , la structure en blocs (à l'ordre des blocs près) est unique.

Attention à ne pas oublier que le rang de $J_p^k$ devient nul dès que $k \ge p$ . Il faut être vigilant sur les indices des sommes lors des calculs de différences.