Invariants de similitude et réciproque

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On rappelle que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ sont dites semblables s'il existe une matrice inversible $P \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que $B = P^{-1}AP$ .

Établir que deux matrices semblables possèdent nécessairement la même trace et le même polynôme caractéristique.
La réciproque de la propriété précédente est-elle exacte ? Plus précisément, si deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ont le même polynôme caractéristique (et par conséquent la même trace), sont-elles systématiquement semblables ? On pourra illustrer la réponse par un contre-exemple en dimension 2.

1.

Pour la question 1, utiliser la propriété de commutativité circulaire de la trace : $\text{tr}(XY) = \text{tr}(YX)$ . Pour le polynôme caractéristique, utiliser la multiplicativité du déterminant.

2.

Pour la question 2, chercher deux matrices qui ont toutes leurs valeurs propres nulles (matrices nilpotentes) mais qui n'ont pas le même rang.

Idées clés

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Propriété fondamentale de la trace : $\forall (X,Y) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2, \text{tr}(XY) = \text{tr}(YX)$ .

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Relation de Chasles pour le déterminant : $\det(XY) = \det(X)\det(Y)$ .

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Lien entre similitude et rang : deux matrices semblables ont nécessairement le même rang.

Résolution.

Étude des invariants par similitude. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $B = P^{-1}AP$ avec $P \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$ . i) Conservation de la trace : En utilisant la propriété $\text{tr}(XY) = \text{tr}(YX)$ , nous pouvons écrire : $\text{tr}(B) = \text{tr}((P^{-1}A)P) = \text{tr}(P(P^{-1}A))$ Par associativité du produit matriciel : $\text{tr}(B) = \text{tr}((PP^{-1})A) = \text{tr}(I_n A) = \text{tr}(A)$ On en conclut que : $\boxed{\text{tr}(A) = \text{tr}(B)}$ ii) Conservation du polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique de $B$ est défini par $\chi_B(X) = \det(XI_n - B)$ . En remplaçant $B$ par son expression en fonction de $A$ : $\chi_B(X) = \det(XI_n - P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(XI_n)P - P^{-1}AP)$ Par linéarité à gauche et à droite de la multiplication par rapport à l'addition : $\chi_B(X) = \det(P^{-1}(XI_n - A)P)$ En utilisant la propriété du déterminant d'un produit ( $\det(UV) = \det(U)\det(V)$ ) : $\chi_B(X) = \det(P^{-1}) \times \det(XI_n - A) \times \det(P)$ Comme $\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)}$ , les termes scalaires se simplifient : $\chi_B(X) = \frac{1}{\det(P)} \times \chi_A(X) \times \det(P) = \chi_A(X)$ On obtient donc l'égalité : $\boxed{\chi_A = \chi_B}$
Examen de la réciproque. La réciproque est fausse en général dès que $n \geq 2$ $n \geq 2$ . Considérons les deux matrices suivantes de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ $M_{2} (K)$ :
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} \text{et} B = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$
Calculons leurs polynômes caractéristiques respectifs :
$\chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X & -1 0 & X \end{pmatrix} = X^2$

$\chi_B(X) = \det \begin{pmatrix} X & 0 0 & X \end{pmatrix} = X^2$
Les deux matrices ont le même polynôme caractéristique $\chi_A = \chi_B = X^2$ $χ_{A} = χ_{B} = X^{2}$ (et donc la même trace nulle). Cependant, ces matrices ne sont pas semblables. En effet :
- La matrice $B$ est la matrice nulle. Sa seule matrice semblable est elle-même ( $P^{-1} 0 P = 0$ ).
- La matrice $A$ est de rang 1, alors que la matrice $B$ est de rang 0.
Or, deux matrices semblables ont nécessairement le même rang.
$\boxed{\chi_A = \chi_B \not\implies A \sim B}$

L'erreur classique consiste à croire que posséder les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités (ce qui équivaut à avoir le même polynôme caractéristique) suffit pour être semblable. C'est faux car cela ne tient pas compte de la structure géométrique (dimensions des sous-espaces propres).