Forme réduite réelle des matrices semi-simples

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ . On dit que $A$ est semi-simple si elle est diagonalisable dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Pour tout couple de réels $(a, b)$ , on définit la matrice de rotation-dilatation :

M(a, b)=\begin{pmatrix} a & b -b & a \end{pmatrix}

Montrer que $A$ est semi-simple si et seulement s'il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ tels que $p+2q=n$ , des réels $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}$ , des réels non nuls $b_{1}, \ldots, b_{q}$ , et des réels $a_{1}, \ldots, a_{q}$ , tels que $A$ soit semblable dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ à la matrice diagonale par blocs :

\Omega = \mathrm{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}, M(a_{1}, b_{1}), \ldots, M(a_{q}, b_{q})\right)

1.

Pour le sens réciproque, montrez que chaque bloc $M(a, b)$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ en calculant ses valeurs propres.

2.

Pour le sens direct, utilisez le fait que les racines non réelles du polynôme caractéristique d'une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.

3.

Établissez que $\mathrm{diag}(z, \bar{z})$ est semblable à $M(\mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z))$ sur $\mathbb{C}$ .

4.

Utilisez le lemme suivant : si deux matrices réelles sont semblables sur $\mathbb{C}$ , elles sont semblables sur $\mathbb{R}$ .

Idées clés

•

Diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ via le spectre.

•

Conjugaison des racines du polynôme caractéristique réel.

•

Passage de la similitude sur $\mathbb{C}$ à la similitude sur $\mathbb{R}$ .

1. Sens réciproque ( $\Leftarrow$ )

Supposons que $A$ soit semblable dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ à la matrice $\Omega$ définie dans l'énoncé. Comme la similitude conserve la diagonalisabilité, il suffit de montrer que $\Omega$ est diagonalisable dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

La matrice $\Omega$ est diagonale par blocs. Elle est donc diagonalisable si et seulement si chaque bloc est diagonalisable. Les blocs scalaires $(\lambda_i)$ sont triviale-ment diagonalisables.

Considérons un bloc $M(a, b)$ avec $b \neq 0$ . Son polynôme caractéristique est :

\chi_{M(a,b)}(X) = \det(X I_2 - M(a,b)) = (X-a)^2 + b^2

Les valeurs propres complexes sont les racines de ce polynôme, à savoir $a+ib$ et $a-ib$ . Puisque $b \neq 0$ , ces deux valeurs propres sont distinctes.

\boxed{ \text{Chaque bloc } M(a,b) \text{ possède deux valeurs propres complexes distinctes, donc est diagonalisable sur } \mathbb{C}. }

Par conséquent, $\Omega$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , et donc $A$ l'est aussi.

2. Sens direct ( $\Rightarrow$ )

Supposons $A$ diagonalisable dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$ . Soit $\chi_A \in \mathbb{R}[X]$ son polynôme caractéristique. Puisque $\chi_A$ est à coefficients réels, si $z \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de multiplicité $m$ , alors son conjugué $\bar{z}$ est aussi valeur propre de multiplicité $m$ .

Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ les valeurs propres réelles (comptées avec multiplicité) et $(z_1, \bar{z}_1), \dots, (z_q, \bar{z}_q)$ les paires de valeurs propres complexes non réelles. Comme $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , elle est semblable dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$ à :

D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_p, z_1, \bar{z}_1, \dots, z_q, \bar{z}_q)

Pour chaque $j \in \{1, \dots, q\}$ , posons $z_j = a_j + i b_j$ avec $b_j \neq 0$ . On vérifie facilement que $M(a_j, b_j)$ a pour valeurs propres $z_j$ et $\bar{z}_j$ . Étant une matrice $2 \times 2$ à valeurs propres distinctes, elle est semblable sur $\mathbb{C}$ à $\mathrm{diag}(z_j, \bar{z}_j)$ .

Ainsi, la matrice $\Omega = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_p, M(a_1, b_1), \dots, M(a_q, b_q))$ est semblable sur $\mathbb{C}$ à la matrice $D$ . Par transitivité, $A$ et $\Omega$ sont semblables dans $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

3. Similitude sur $\mathbb{R$ $R$ }

Il reste à montrer que si deux matrices réelles $A$ et $\Omega$ sont semblables sur $\mathbb{C}$ , elles le sont sur $\mathbb{R}$ . Soit $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que $P \Omega = A P$ . Écrivons $P = Q + iR$ avec $Q, R \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ . En séparant parties réelles et imaginaires dans l'égalité $(Q+iR)\Omega = A(Q+iR)$ , on obtient :

Q\Omega = AQ   \text{et}   R\Omega = AR

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $(Q+xR)\Omega = A(Q+xR)$ . Considérons la fonction polynomiale $f : x \mapsto \det(Q + xR)$ . $f$ est un polynôme à coefficients réels de degré au plus $n$ . Comme $f(i) = \det(P) \neq 0$ , le polynôme $f$ n'est pas identiquement nul.

Il possède donc un nombre fini de racines. Il existe ainsi $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $f(x_0) \neq 0$ . En posant $P_0 = Q + x_0 R \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , on a :

\boxed{ P_0 \Omega = A P_0 \implies A = P_0 \Omega P_0^{-1} }

La matrice $A$ est donc semblable à $\Omega$ dans $\mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ .

Une erreur fréquente consiste à oublier que la matrice de passage $P$ doit être inversible. Il ne suffit pas de trouver une matrice $P_0$ réelle telle que $P_0 \Omega = A P_0$ , il faut garantir l'existence d'une telle matrice qui soit non singulière.