Dénombrement des classes de similitude nilpotentes

Pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$ , on note $J_k \in \mathcal{M}_k(\mathbb{C})$ la matrice dont les coefficients $(a_{i,j})$ sont définis par $a_{i,j} = 1$ si $j = i+1$ et $a_{i,j} = 0$ sinon.

On admet le résultat suivant : toute matrice nilpotente $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme $\text{diag}(J_{k_1}, J_{k_2}, \dots, J_{k_r})$ où $(k_1, \dots, k_r)$ est une famille d'entiers strictement positifs telle que $\sum_{i=1}^r k_i = n$ .

Déterminer le nombre de classes de similitude de matrices nilpotentes au sein de l'espace $\mathcal{M}_{5}(\mathbb{C})$ .

1.

Identifier le lien entre une classe de similitude et la décomposition en blocs de type $J_k$ .

2.

Remarquer que la donnée d'une telle classe revient à la donnée d'une partition de l'entier $n=5$ .

3.

Énumérer de façon exhaustive et ordonnée toutes les partitions de l'entier 5.

Idées clés

•

Utilisation de la réduction des endomorphismes nilpotents (forme normale).

•

Lien entre classes de similitude et partitions d'un entier.

•

Dénombrement par énumération systématique.

Résolution.

D'après le résultat admis dans l'énoncé, chaque matrice nilpotente de $\mathcal{M}_5(\mathbb{C})$ appartient à une classe de similitude caractérisée par la taille des blocs élémentaires $J_k$ qui la composent.

La somme des tailles de ces blocs doit impérativement être égale à la dimension de l'espace, soit $n=5$ .

Ainsi, dénombrer les classes de similitude revient à dénombrer les familles d'entiers naturels non nuls $(k_1, k_2, \dots, k_r)$ , définies à l'ordre près, telles que :

\sum_{i=1}^r k_i = 5

Ce problème est équivalent à la recherche du nombre de partitions de l'entier 5, classiquement noté $p(5)$ .

Listons ces partitions de manière ordonnée (par ordre décroissant des tailles de blocs pour éviter les doublons) :

Partition avec un seul bloc : Il n'y a qu'une seule possibilité, correspondant à une matrice composée d'un unique bloc de taille 5. $5 = 5$
Partitions avec deux blocs : On cherche les couples $(k_1, k_2)$ tels que $k_1 + k_2 = 5$ avec $k_1 \ge k_2 \ge 1$ . $5 = 4 + 1$ $5 = 3 + 2$
Partitions avec trois blocs : On cherche les triplets $(k_1, k_2, k_3)$ tels que $k_1 + k_2 + k_3 = 5$ avec $k_1 \ge k_2 \ge k_3 \ge 1$ . $5 = 3 + 1 + 1$ $5 = 2 + 2 + 1$
Partition avec quatre blocs : On cherche les quadruplets $(k_1, k_2, k_3, k_4)$ tels que $\sum k_i = 5$ avec $k_1 \ge k_2 \ge k_3 \ge k_4 \ge 1$ . $5 = 2 + 1 + 1 + 1$
Partition avec cinq blocs : Il n'y a qu'une seule possibilité, correspondant à la matrice nulle (somme de 5 blocs de taille 1). $5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$

En regroupant tous les cas identifiés, nous obtenons la liste exhaustive suivante :

\{5\}, \{4,1\}, \{3,2\}, \{3,1,1\}, \{2,2,1\}, \{2,1,1,1\}, \{1,1,1,1,1\}

Le nombre total de classes de similitude est donc :

\boxed{p(5) = 7}

L'erreur la plus fréquente est d'oublier la matrice nulle (qui correspond à la partition $1+1+1+1+1$ ) ou de compter plusieurs fois la même partition par manque d'organisation dans l'énumération (par exemple compter $3+2$ et $2+3$ séparément).