Similitude et réduction pour X^3+X=0

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension 3. On considère l'ensemble des endomorphismes $u \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant la relation $u^3 + u = 0$ .

Soit $u$ $u$ un tel endomorphismes, supposé non nul.
1. Déterminer les valeurs propres possibles de $u$ dans $\mathbb{C}$ . L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ?
2. Montrer que le noyau $\ker(u)$ est de dimension 1.
3. Justifier l'existence d'une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ non nulles telles que $A^3 = -A$ et $B^3 = -B$ . Montrer que $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ .

1.

Pour la question 1.(a), utiliser le fait qu'un polynôme annulateur à racines simples sur $\mathbb{C}$ assure la diagonalisabilité.

2.

Pour la question 1.(b), utiliser le lemme des noyaux pour décomposer $E$ et raisonner sur la dimension des sous-espaces stables par un endomorphisme réel sans valeur propre réelle.

3.

Pour la question 1.(c), construire la base en choisissant un vecteur dans chaque composante de la décomposition des noyaux.

4.

Pour la question 2, utiliser le résultat de la question 1.(c) pour montrer que $A$ et $B$ sont semblables à une même matrice de référence.

Idées clés

•

Lien entre racines du polynôme annulateur et spectre.

•

Théorème de décomposition des noyaux.

•

Propriétés des endomorphismes réels (les valeurs propres complexes non réelles sont conjuguées).

•

Définition de la similitude via le changement de base.

Résolution.

1. Le polynôme $P(X) = X^3 + X = X(X^2 + 1) = X(X-i)(X+i)$ est un polynôme annulateur de $u$ . Les valeurs propres de $u$ dans $\mathbb{C}$ sont nécessairement des racines de $P$ . $\boxed{\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(u) \subset \{0, i, -i\}}$ Comme $P$ est un polynôme scindé à racines simples dans $\mathbb{C}[X]$ , d'après le critère polynomial de diagonalisabilité : $\boxed{u \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}}$
2. D'après le lemme des noyaux, comme $X$ et $X^2+1$ sont premiers entre eux : $E = \ker(u) \oplus \ker(u^2 + \mathrm{Id}_E)$ Notons $E_0 = \ker(u)$ et $F = \ker(u^2 + \mathrm{Id}_E)$ . On sait que $\dim(E_0) + \dim(F) = 3$ . Comme $u$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel réel, si $i$ est valeur propre, alors son conjugué $-i$ l'est aussi avec la même multiplicité. L'endomorphisme $u$ restreint à $F$ ne possède aucune valeur propre réelle (car son polynôme annulateur $X^2+1$ n'en a pas). Ainsi, la dimension de $F$ est nécessairement paire. Comme $u \neq 0$ , on a $F \neq \{0\}$ , donc $\dim(F) \in \{2\}$ . Si $\dim(F) = 3$ , cela contredirait la parité. Donc $\dim(F) = 2$ . Par complémentarité dans $E$ de dimension 3 : $\boxed{\dim(\ker(u)) = 1}$
3. Construisons la base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ $B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ . Soit $e_1$ $e_{1}$ un vecteur non nul de $\ker(u)$ $ker (u)$ . On a $u(e_1) = 0$ $u (e_{1}) = 0$ . Soit $e_2$ $e_{2}$ un vecteur non nul de $F = \ker(u^2 + \mathrm{Id}_E)$ $F = ker (u^{2} + Id_{E})$ . Posons $e_3 = u(e_2)$ $e_{3} = u (e_{2})$ . Montrons que $(e_2, e_3)$ $(e_{2}, e_{3})$ est libre. Si $e_3 = \lambda e_2$ $e_{3} = λ e_{2}$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$ $λ \in R$ , alors $u(e_2) = \lambda e_2$ $u (e_{2}) = λ e_{2}$ . En appliquant $u$ $u$ à nouveau : $u^2(e_2) = \lambda^2 e_2$ $u^{2} (e_{2}) = λ^{2} e_{2}$ . Or $u^2(e_2) = -e_2$ $u^{2} (e_{2}) = - e_{2}$ car $e_2 \in \ker(u^2 + \mathrm{Id})$ $e_{2} \in ker (u^{2} + Id)$ . D'où $\lambda^2 = -1$ $λ^{2} = - 1$ , ce qui est impossible pour $\lambda \in \mathbb{R}$ $λ \in R$ . Ainsi $(e_2, e_3)$ $(e_{2}, e_{3})$ est une famille libre de $F$ $F$ , et comme $\dim(F)=2$ $dim (F) = 2$ , c'en est une base. Par concaténation, $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ $B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est une base de $E$ $E$ . Calculons les images :
  - $u(e_1) = 0$
  - $u(e_2) = e_3$
  - $u(e_3) = u^2(e_2) = -e_2$
  La matrice de $u$ $u$ dans cette base est bien :
  $\boxed{M_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$
Soient $A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ non nulles telles que $A^3+A=0$ et $B^3+B=0$ . D'après l'étude précédente, l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à $A$ est semblable à la matrice : $A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ De même, l'endomorphisme associé à $B$ est semblable à cette même matrice $A_0$ . Par transitivité de la relation de similitude : $\boxed{A \sim A_0 \text{ et } B \sim A_0 \implies A \sim B}$

Attention à ne pas oublier de justifier que $\dim(\ker(u^2+\mathrm{Id}))$ est paire. C'est un argument crucial en dimension 3 pour affirmer que le noyau $\ker(u)$ n'est pas réduit à $\{0\}$ .