Classification de matrices par relations polynomiales

Résolution.

1. Analyse de la condition géométrique. Soit $y \in \operatorname{Im}(A)$. Par hypothèse, $y \in \operatorname{Ker}(A-I_n)$, donc $Ay = y$. Comme tout élément de la forme $Ax$ (pour $x \in \mathbb{K}^n$) appartient à l'image de $A$, on en déduit :
   $$\forall x \in \mathbb{K}^n,   A(Ax) = Ax \iff A^2 = A$$
   Réciproquement, si $A^2 = A$, alors pour tout $y \in \operatorname{Im}(A)$, il existe $x$ tel que $y=Ax$. Alors $Ay = A^2x = Ax = y$, ce qui prouve $y \in \operatorname{Ker}(A-I_n)$. Dénombrement des classes. Les matrices vérifiant $A^2=A$ sont des projecteurs. Deux projecteurs sont semblables si et seulement si ils ont le même rang. Le rang $r = \operatorname{rg}(A)$ peut prendre toutes les valeurs entières entre $0$ et $n$.
   $$\boxed{\text{Il y a } n+1 \text{ classes de similitude.}}$$

2. Étude des équations polynomiales sur $\mathbb{R$.}
   1. Cas $M^2=M$. C'est exactement le cas précédent (projecteurs). La classe de similitude est déterminée par le rang $r \in \{0, \dots, n\}$.
      $$\boxed{\text{Il y a } n+1 \text{ classes.}}$$

   2. Cas $M^3=M$. Le polynôme $P = X^3 - X = X(X-1)(X+1)$ annule $M$. Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, $M$ est diagonalisable et son spectre est inclus dans $\{0, 1, -1\}$. La classe de similitude de $M$ est entièrement déterminée par les multiplicités respectives $n_0, n_1, n_{-1}$ des valeurs propres $0, 1, -1$. Ces multiplicités sont des entiers naturels vérifiant la contrainte :
      $$n_0 + n_1 + n_{-1} = n$$
      Le nombre de classes est égal au nombre de triplets $(n_0, n_1, n_{-1}) \in \mathbb{N}^3$ solutions de cette équation. Par un argument classique de combinatoire, ce nombre vaut $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}$.
      $$\boxed{\text{Il y a } \frac{(n+1)(n+2)}{2} \text{ classes.}}$$

   3. Cas $M^4=M$. Le polynôme annulateur est $P = X^4 - X = X(X-1)(X^2+X+1)$. Le facteur $Q = X^2+X+1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ (car son discriminant est $\Delta = -3 < 0$). D'après le lemme des noyaux, on a la décomposition en sous-espaces stables :
      $$\mathbb{R}^n = \operatorname{Ker}(M) \oplus \operatorname{Ker}(M-I_n) \oplus \operatorname{Ker}(M^2+M+I_n)$$
      Notons $p = \dim \operatorname{Ker}(M)$, $q = \dim \operatorname{Ker}(M-I_n)$ et $d = \dim \operatorname{Ker}(M^2+M+I_n)$. Sur $\operatorname{Ker}(M^2+M+I_n)$, la restriction de $M$ a pour polynôme minimal $X^2+X+1$. En dimension finie sur $\mathbb{R}$, une telle matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs composée de $r$ blocs de la forme $C = \begin{pmatrix} 0 & -1$
      1 & -1 \end{pmatrix}. Ceci impose que la dimension $d$ soit paire : $d = 2r$. La classe de similitude de $M$ est donc fixée par le triplet $(p, q, r) \in \mathbb{N}^3$ tel que :
      $$p + q + 2r = n$$
      Comptons ces triplets. Pour chaque $r$ fixé tel que $0 \leq 2r \leq n$, on doit avoir $p+q = n-2r$. Il y a $(n-2r+1)$ couples $(p,q)$ possibles pour un $r$ donné. Soit $m = \lfloor n/2 \rfloor$. Le nombre total de classes est :
      $$N = \sum_{r=0}^{m} (n - 2r + 1)$$
      En séparant la somme : $N = (m+1)(n+1) - 2\frac{m(m+1)}{2} = (m+1)(n+1-m)$. Si $n = 2m$ (pair), $N = (m+1)(2m+1-m) = (m+1)^2$. Si $n = 2m+1$ (impair), $N = (m+1)(2m+2-m) = (m+1)(m+2)$.
      $$\boxed{ \text{Il y a } \left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + 1\right) \left(n + 1 - \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) \text{ classes.} }$$