Classes de similitude et commutants en dimension 2

Soit $M$ une matrice de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ . On s'intéresse à l'ensemble $E(M)$ constitué des matrices $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ qui sont à la fois semblables à $M$ et qui commutent avec $M$ :

E(M) = \{ A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \mid A \sim M   \text{et}   AM = MA \}

Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur $M$ pour que l'ensemble $E(M)$ soit fini.

1.

On rappellera que toute matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est trigonalisable.

2.

Distinguer trois cas selon la structure de réduction de $M$ : le cas où $M$ est une matrice scalaire, le cas où $M$ est diagonalisable avec des valeurs propres distinctes, et le cas où $M$ n'est pas diagonalisable.

3.

Pour chaque cas, exprimer explicitement le commutant de $M$ et identifier les matrices de ce commutant qui possèdent le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal que $M$ .

Idées clés

•

Caractérisation du commutant en dimension 2.

•

Utilisation de la réduction (forme diagonale ou triangulaire augmentée).

•

Lien entre similitude et invariants (spectre et diagonalisabilité).

Résolution.

Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . Puisque le corps de base est $\mathbb{C}$ , le polynôme caractéristique de $M$ est scindé. $M$ est donc semblable à une matrice de l'un des trois types suivants.

Cas 1 : $M$ est une matrice scalaire.

Supposons qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $M = \lambda I_2$ .

Dans ce cas, toute matrice semblable à $M$ est égale à $M$ elle-même car :

P (\lambda I_2) P^{-1} = \lambda P P^{-1} = \lambda I_2

Ainsi, l'ensemble des matrices semblables à $M$ est le singleton $\{M\}$ .

Comme $M$ commute évidemment avec elle-même, on a :

\boxed{E(M) = \{M\}}

Dans ce cas, $E(M)$ est fini (de cardinal 1).

Cas 2 : $M$ est diagonalisable avec deux valeurs propres distinctes.

Supposons que $\text{Sp}(M) = \{\lambda, \mu\}$ avec $\lambda \neq \mu$ . Il existe $P \in GL_2(\mathbb{C})$ telle que $M = P D P^{-1}$ avec $D = \begin{pmatrix} \lambda & 0 0 & \mu \end{pmatrix}$ .

Une matrice $A$ commute avec $M$ si et seulement si $P^{-1}AP$ commute avec $D$ . Or, une matrice commute avec une matrice diagonale à éléments diagonaux distincts si et seulement si elle est elle-même diagonale. On en déduit que :

C(M) = \{ P \begin{pmatrix} a & 0 0 & b \end{pmatrix} P^{-1} \mid (a,b) \in \mathbb{C}^2 \}

Soit $A \in C(M)$ . $A$ est semblable à $M$ si et seulement si elles ont le même spectre (en tenant compte des multiplicités) et sont toutes deux diagonalisables. Ici, $A = P \text{diag}(a,b) P^{-1}$ est déjà diagonalisable. Son spectre est $\{a, b\}$ . On a donc $A \sim M$ si et seulement si $\{a, b\} = \{\lambda, \mu\}$ .

Ceci offre deux possibilités pour le couple $(a,b)$ : $(\lambda, \mu)$ ou $(\mu, \lambda)$ . On obtient :

\boxed{E(M) = \{ M,   P \begin{pmatrix} \mu & 0 0 & \lambda \end{pmatrix} P^{-1} \}}

Dans ce cas, $E(M)$ est fini (de cardinal 2).

Cas 3 : $M$ n'est pas diagonalisable.

Puisque $M$ n'est pas diagonalisable mais possède un polynôme caractéristique scindé sur $\mathbb{C}$ , elle admet une valeur propre unique $\lambda$ de multiplicité 2. Il existe $P \in GL_2(\mathbb{C})$ telle que $M = P T P^{-1}$ avec $T = \begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix}$ .

Calculons le commutant de $T$ . Une matrice $\begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ commute avec $T$ si et seulement si :

\begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} \lambda a & a + \lambda b \lambda c & c + \lambda d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a + c & \lambda b + d \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}

Ce qui impose $c = 0$ et $a = d$ . Ainsi :

C(M) = \{ P \begin{pmatrix} a & b 0 & a \end{pmatrix} P^{-1} \mid (a,b) \in \mathbb{C}^2 \}

Soit $A \in C(M)$ , de la forme $A = P \begin{pmatrix} a & b 0 & a \end{pmatrix} P^{-1}$ . $A$ est semblable à $M$ si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique et si $A$ n'est pas diagonalisable. Le polynôme caractéristique de $A$ est $(X-a)^2$ . On doit donc avoir $a = \lambda$ . Ensuite, $A$ est diagonalisable si et seulement si $A - \lambda I_2 = 0$ , ce qui équivaut à $b = 0$ . Par conséquent, $A \sim M$ si et seulement si $a = \lambda$ et $b \neq 0$ . L'ensemble $E(M)$ est donc :

\boxed{E(M) = \{ P \begin{pmatrix} \lambda & b 0 & \lambda \end{pmatrix} P^{-1} \mid b \in \mathbb{C}^* \}}

Comme $\mathbb{C}^*$ est un ensemble infini, $E(M)$ est infini dans ce cas.

Synthèse.

L'ensemble $E(M)$ est fini si et seulement si on se trouve dans le cas 1 ou le cas 2.

\boxed{E(M) \text{ est fini } \iff M \text{ est diagonalisable}}

Ne pas oublier le cas où $M$ est diagonalisable avec une valeur propre double (matrice scalaire). Dans ce cas, $E(M)$ ne contient qu'un seul élément, contrairement au cas des valeurs propres distinctes où il en contient deux.