Caractérisation matricielle de la conjugaison

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{C}^n$ muni de sa base canonique $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ .

Pour toute permutation $\sigma \in \mathcal{S}_n$ , on définit la matrice de permutation associée $P_{\sigma} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ par son action sur les vecteurs de la base canonique :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   P_{\sigma} e_j = e_{\sigma(j)}

Montrer que deux permutations $\sigma$ et $\sigma'$ de $\mathcal{S}_n$ sont conjuguées dans le groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ si et seulement si les matrices $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

1.

Pour le sens direct, montrer que l'application $\sigma \mapsto P_\sigma$ est un morphisme de groupes de $\mathcal{S}_n$ dans $GL_n(\mathbb{C})$ .

2.

Pour le sens réciproque, rappeler que deux matrices diagonalisables sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.

3.

Exprimer le polynôme caractéristique de $P_\sigma$ en fonction des longueurs des cycles apparaissant dans la décomposition de $\sigma$ en cycles à supports disjoints.

4.

Conclure en montrant que la donnée de ce polynôme caractéristique détermine de manière unique la structure de cycles de la permutation.

Idées clés

•

Propriété de morphisme : $P_{\sigma \circ \tau} = P_\sigma P_\tau$ .

•

Diagonalisabilité des matrices d'ordre fini sur $\mathbb{C}$ .

•

Lien entre structure de cycles de $\sigma$ et polynôme caractéristique de $P_\sigma$ .

1. Sens direct : $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguées $\implies P_\sigma$ et $P_{\sigma'$ $P_{σ^{'}}$ sont semblables.}

Supposons que $\sigma$ et $\sigma'$ soient conjuguées dans $\mathcal{S}_n$ .

Il existe donc une permutation $\tau \in \mathcal{S}_n$ telle que :

\sigma' = \tau \circ \sigma \circ \tau^{-1}

Soit $j \in \{1, \dots, n\}$ . Calculons l'image du vecteur $e_j$ par le produit de matrices $P_\tau P_\sigma P_\tau^{-1}$ . Comme $P_{\tau}^{-1} = P_{\tau^{-1}}$ , on a :

P_\tau P_\sigma P_{\tau^{-1}} (e_j) = P_\tau P_\sigma (e_{\tau^{-1}(j)}) = P_\tau (e_{\sigma(\tau^{-1}(j))}) = e_{\tau(\sigma(\tau^{-1}(j)))}

Par définition de $P_{\sigma'}$ , on a également $P_{\sigma'} e_j = e_{\sigma'(j)}$ . Or $\sigma'(j) = \tau(\sigma(\tau^{-1}(j)))$ . On en déduit l'égalité matricielle fondamentale :

\boxed{P_{\sigma'} = P_\tau P_\sigma P_\tau^{-1}}

Les matrices $P_{\sigma'}$ et $P_{\sigma}$ sont donc semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

2. Sens réciproque : $P_\sigma$ et $P_{\sigma'$ $P_{σ^{'}}$ sont semblables $\implies \sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguées.}

Supposons que $P_\sigma \sim P_{\sigma'}$ .

Remarquons d'abord que toute matrice de permutation est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ . En effet, $\sigma$ étant d'ordre fini dans $\mathcal{S}_n$ , il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $\sigma^k = \text{id}$ . Alors $P_\sigma^k = I_n$ , donc le polynôme $X^k - 1$ est un polynôme annulateur de $P_\sigma$ . Ce polynôme étant scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , $P_\sigma$ est diagonalisable.

Deux matrices diagonalisables sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique. Notons $\sigma = \gamma_1 \circ \gamma_2 \circ \dots \circ \gamma_k$ la décomposition de $\sigma$ en cycles disjoints, de longueurs respectives $c_1, c_2, \dots, c_k$ (en incluant les points fixes comme cycles de longueur 1).

Quitte à permuter la base canonique, la matrice $P_\sigma$ est semblable à une matrice diagonale par blocs :

P_\sigma \sim \text{diag}(P_{\gamma_1}, \dots, P_{\gamma_k})

Le polynôme caractéristique d'un cycle $\gamma$ de longueur $c$ est $\chi_{P_\gamma}(X) = X^c - 1$ . Par conséquent, on obtient :

\boxed{\chi_{P_\sigma}(X) = \prod_{i=1}^k (X^{c_i} - 1)}

Si $P_\sigma$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables, alors $\chi_{P_\sigma} = \chi_{P_{\sigma'}}$ . Notons $c'_1, \dots, c'_m$ les longueurs des cycles de $\sigma'$ . On a l'égalité :

\prod_{i=1}^k (X^{c_i} - 1) = \prod_{j=1}^m (X^{c'_j} - 1)

Montrons que les suites $(c_i)$ et $(c'_j)$ sont identiques à l'ordre près. Soit $L$ le maximum des $c_i$ et des $c'_j$ . La valeur $\omega = e^{2i\pi/L}$ est une racine du produit de gauche si et seulement si $L$ figure parmi les $c_i$ . Comme elle est racine du produit de droite, $L$ figure aussi parmi les $c'_j$ . En divisant par $(X^L - 1)$ des deux côtés et en procédant par récurrence, on montre que les listes de longueurs de cycles sont les mêmes.

Or, deux permutations sont conjuguées dans $\mathcal{S}_n$ si et seulement si elles ont la même structure de cycles (mêmes longueurs de cycles disjoints). On en conclut que :

\boxed{\sigma \sim \sigma' \text{ dans } \mathcal{S}_n}

Ne pas oublier de considérer les points fixes de la permutation. Ils correspondent à des cycles de longueur 1, qui contribuent au facteur $(X-1)$ dans le polynôme caractéristique. Sans eux, la somme des longueurs des cycles ne ferait pas $n$ .