Matrices produits de deux involutions

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On rappelle qu'une matrice $A$ est une involution (ou une symétrie) si $A^2 = I_n$ .

L'objectif est de démontrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :

[i)] Il existe deux involutions $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telles que $M = AB$ .
[ii)] La matrice $M$ est inversible et semblable à son inverse $M^{-1}$ .

Cas de la dimension $n=2$ .
1. Montrer l'implication $i) \implies ii)$ pour tout $n \ge 2$ .
2. Soit $M \in GL_2(\mathbb{C})$ . Montrer que $M$ est semblable à $M^{-1}$ si et seulement si $\det(M) = 1$ ou ( $\det(M) = -1$ et $\mathrm{Tr}(M) = 0$ ).
3. Dans le cas $n=2$ , démontrer l'implication $ii) \implies i)$ . On pourra traiter séparément le cas où $M$ est diagonalisable et le cas où elle ne l'est pas.
Cas général. Démontrer l'équivalence pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ . Note : Pour l'implication réciproque, on pourra admettre que toute matrice est semblable à sa transposée et que le résultat est vrai pour les matrices compagnons.

1.

Pour $i) \implies ii)$ , utiliser la relation $B = A^{-1}M$ et calculer $A M A^{-1}$ .

2.

Pour le cas $n=2$ , si $M \sim M^{-1}$ , alors elles ont le même polynôme caractéristique. Utiliser les relations entre coefficients et valeurs propres.

3.

Pour $ii) \implies i)$ en dimension 2, si $M$ n'est pas diagonalisable, sa forme réduite contient un bloc avec l'unique valeur propre $\lambda \in \{1, -1\}$ .

4.

Pour le cas général, l'implication réciproque repose sur la décomposition de l'espace en sous-espaces cycliques (ou l'utilisation de la structure des classes de similitude).

Idées clés

•

Définition d'une involution : $A^2 = I \iff A = A^{-1}$ .

•

Lien entre produit et similitude : $AMA^{-1} = A(AB)A = BA = (AB)^{-1}$ si $A, B$ sont des involutions.

•

Invariants de similitude : Deux matrices semblables ont la même trace, le même déterminant et le même polynôme caractéristique.

Résolution.

Étude en dimension $n=2$ .
1. Supposons $M = AB$ avec $A^2 = I_n$ et $B^2 = I_n$ . Comme $A$ et $B$ sont inversibles ( $A^{-1}=A$ et $B^{-1}=B$ ), $M$ est inversible en tant que produit de matrices inversibles. On calcule l'inverse de $M$ : $M^{-1} = (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = BA$ Or, on remarque que : $A M A^{-1} = A (AB) A = (AA) BA = I_n BA = BA$ D'où : $\boxed{A M A^{-1} = M^{-1}}$ La matrice $M$ est donc semblable à son inverse $M^{-1}$ via la matrice de passage $A$ .
2. Soit $M \in GL_2(\mathbb{C})$ . $M$ est semblable à $M^{-1}$ si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique : $\chi_M(X) = X^2 - \mathrm{Tr}(M)X + \det(M)$ $\chi_{M^{-1}}(X) = X^2 - \mathrm{Tr}(M^{-1})X + \det(M^{-1})$ On sait que $\det(M^{-1}) = \frac{1}{\det(M)}$ et $\mathrm{Tr}(M^{-1}) = \frac{\mathrm{Tr}(M)}{\det(M)}$ (formule pour $n=2$ issue de $M^{-1} = \frac{1}{\det M} \text{com}(M)^T$ ). L'égalité des polynômes caractéristiques impose : $\begin{cases} \det(M) = \frac{1}{\det(M)} \mathrm{Tr}(M) = \frac{\mathrm{Tr}(M)}{\det(M)} \end{cases} \iff \begin{cases} \det(M)^2 = 1 \mathrm{Tr}(M)(\det(M) - 1) = 0 \end{cases}$ Premier cas : $\det(M) = 1$ . La seconde condition est toujours vérifiée. Second cas : $\det(M) = -1$ . La seconde condition impose $\mathrm{Tr}(M)(-2) = 0$ , donc $\mathrm{Tr}(M) = 0$ . On conclut : $\boxed{M \sim M^{-1} \iff \det(M) = 1 \text{ ou } (\det(M) = -1 \text{ et } \mathrm{Tr}(M) = 0)}$
3. Montrons $ii) \implies i)$ . Cas 1 : $M$ est diagonalisable. D'après (b), les valeurs propres $(\lambda_1, \lambda_2)$ vérifient $\lambda_1 \lambda_2 = 1$ ou ( $\lambda_1 \lambda_2 = -1$ et $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ ). Dans le premier cas, $M \sim \text{diag}(\lambda, 1/\lambda)$ . On peut écrire : $\begin{pmatrix} \lambda & 0 0 & 1/\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1/\lambda \lambda & 0 \end{pmatrix} = A'B'$ $A'$ et $B'$ sont des involutions (symétries par rapport à la première bissectrice). Dans le second cas, $M \sim \text{diag}(\lambda, -\lambda)$ avec $\lambda^2 = 1$ , donc $\lambda = \pm 1$ . $M$ est alors déjà une involution (et $M = M \cdot I$ ). Cas 2 : $M$ n'est pas diagonalisable. L'unique valeur propre $\lambda$ doit vérifier $\lambda = 1/\lambda$ , donc $\lambda \in \{1, -1\}$ . $M$ est semblable à $\begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix}$ . On cherche $B = \begin{pmatrix} a & b c & -a \end{pmatrix}$ telle que $B^2 = I$ et $A = MB$ soit une involution. Pour $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 \end{pmatrix}$ , on choisit $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 0 & -1 \end{pmatrix}$ . On vérifie $B^2 = I$ et $A = MB = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}$ , qui est une involution. Le raisonnement est analogue pour $\lambda = -1$ .
Cas général. L'implication $i) \implies ii)$ a été démontrée en 1(a) pour tout $n$ . Pour la réciproque $ii) \implies i)$ , on utilise le fait que toute matrice inversible $M$ semblable à son inverse est semblable à une matrice diagonale par blocs de matrices compagnons $C(P_i)$ , où chaque $P_i$ est un polynôme "réciproque" ( $P_i(X) = X^{\deg P_i} P_i(1/X)$ ). On montre que toute matrice compagnon d'un polynôme réciproque est produit de deux symétries. En effet, si $C$ est une telle matrice, il existe une symétrie $S$ telle que $SCS = C^{-1}$ . En posant $A = S$ et $B = SC$ , on a $M = AB$ . Comme $B^2 = (SC)(SC) = S(CSC) = S C^{-1} = I$ , $B$ est aussi une involution. Par concaténation des blocs, le résultat s'étend à $M$ . $\boxed{M = AB \text{ avec } A^2=B^2=I_n \iff M \sim M^{-1}}$

Attention à ne pas oublier le cas où $M$ n'est pas diagonalisable en dimension 2. Il ne suffit pas de vérifier l'égalité des valeurs propres, il faut s'assurer que la structure des blocs de similitude est préservée (ce qui est automatique ici car $M$ et $M^{-1}$ ont le même polynôme minimal).