Similitude et nilpotence dans une matrice par blocs

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On considère les deux matrices de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ définies par blocs :

M = \begin{pmatrix} A & 0 0 & A \end{pmatrix}   \text{et}   N = \begin{pmatrix} A & A 0 & A \end{pmatrix}

Démontrer que si les matrices

M

et

N

sont semblables, alors la matrice

A

est nécessairement nilpotente.

1.

Utiliser le fait que deux matrices semblables ont des invariants de similitude identiques, notamment les dimensions des noyaux des puissances de $(M - \lambda I)$ et $(N - \lambda I)$ .

2.

Pour $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre éventuelle de $A$ , étudier le lien entre $\dim \ker(N - \lambda I)$ et les noyaux des puissances de $(A - \lambda I)$ .

3.

Pour $\lambda \neq 0$ , établir que $\dim \ker(N - \lambda I) = \dim \ker(A - \lambda I)^2$ .

4.

Exploiter la propriété de concavité de la suite des dimensions des noyaux itérés ( $d_k = \dim \ker u^k$ ) pour conclure sur la valeur de $\lambda$ .

Idées clés

•

Propriété des matrices semblables : $\forall \lambda \in \mathbb{C}, \dim \ker(M - \lambda I) = \dim \ker(N - \lambda I)$ .

•

Analyse de la structure par blocs pour relier les noyaux.

•

Utilisation de la croissance des noyaux itérés pour montrer que seule la valeur propre $0$ est possible.

1. Analyse préliminaire des spectres.

Les matrices $M$ et $N$ sont triangulaires par blocs (ou diagonale par blocs). Leur polynôme caractéristique est :

\chi_M(X) = \chi_N(X) = (\chi_A(X))^2

Ainsi,

M

et

N

ont le même spectre, qui est celui de

A

.

Supposons que $M$ et $N$ soient semblables. Alors, pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ , on doit avoir :

\boxed{\dim \ker(M - \lambda I) = \dim \ker(N - \lambda I)}

2. Calcul des dimensions des noyaux.

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$ . Posons $B = A - \lambda I$ . Pour la matrice $M$ , on a par structure diagonale :

M - \lambda I = \begin{pmatrix} B & 0 0 & B \end{pmatrix} \implies \boxed{\dim \ker(M - \lambda I) = 2 \dim \ker B}

Pour la matrice $N$ , on a $N - \lambda I = \begin{pmatrix} B & A 0 & B \end{pmatrix}$ . Cherchons le noyau de cette matrice. Un vecteur $X = \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2n}$ appartient à ce noyau si et seulement si :

\begin{cases} Bx + Ay = 0 By = 0 \end{cases}

L'équation $By = 0$ équivaut à $(A - \lambda I)y = 0$ , soit $Ay = \lambda y$ . En substituant dans la première équation, on obtient :

Bx + \lambda y = 0

3. Cas où $\lambda \neq 0$ .

Si $\lambda \neq 0$ , alors on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ : $y = -\frac{1}{\lambda} Bx$ . La condition $By = 0$ devient alors $B(-\frac{1}{\lambda} Bx) = 0$ , ce qui équivaut à $B^2 x = 0$ .

L'application $\Phi : x \in \ker B^2 \mapsto \begin{pmatrix} x -\frac{1}{\lambda} Bx \end{pmatrix}$ est clairement un isomorphisme de $\ker B^2$ vers $\ker(N - \lambda I)$ . Par conséquent :

\boxed{\dim \ker(N - \lambda I) = \dim \ker B^2}

D'après l'hypothèse de similitude et le résultat du point 2, on en déduit que :

2 \dim \ker B = \dim \ker B^2

4. Utilisation de la suite des noyaux itérés.

Notons $d_k = \dim \ker B^k$ . Nous avons montré que pour tout $\lambda \neq 0$ , $d_2 = 2d_1$ . Or, on sait que la suite des accroissements $e_k = d_k - d_{k-1}$ est décroissante (propriété classique sur les noyaux itérés). Ici :

e_1 = d_1 - d_0 = d_1   \text{et}   e_2 = d_2 - d_1 = 2d_1 - d_1 = d_1

Puisque $e_2 \le e_1$ et que nous avons ici $e_2 = e_1$ , la suite $(e_k)$ doit être constante tant qu'elle ne s'est pas stabilisée à 0. Si $d_1 > 0$ , alors $d_k = k d_1$ pour tout $k \ge 1$ . Ceci est impossible car la dimension est bornée par $n$ . On en déduit donc que :

\boxed{d_1 = 0}

Cela signifie que pour tout $\lambda \neq 0$ , $\ker(A - \lambda I) = \{0\}$ . Ainsi, $\lambda$ ne peut pas être une valeur propre de $A$ .

Conclusion.

La seule valeur propre possible pour $A$ est $0$ . Puisque nous sommes sur $\mathbb{C}$ , le polynôme caractéristique de $A$ est nécessairement $\chi_A(X) = X^n$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton :

\boxed{A^n = 0}

La matrice

A

est donc nilpotente.

Ne pas oublier de traiter séparément le cas $\lambda = 0$ . L'isomorphisme construit utilise la division par $\lambda$ , il ne fonctionne donc que pour les valeurs propres non nulles. L'objectif est précisément de montrer qu'il n'y en a pas d'autres que 0.