Réduction sur le corps des complexes

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 0 & 1 & -2 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ .

Calculer le polynôme caractéristique de $A$ et déterminer son spectre sur $\mathbb{C}$ .
La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ? Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ ?
Déterminer les sous-espaces de $\mathbb{R}^3$ stables par $A$ .

1.

Le déterminant est par blocs ou se calcule par développement.

2.

Une matrice réelle est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ si son polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . Sur $\mathbb{C}$ , il suffit que les racines soient simples.

3.

Pour les sous-espaces réels stables : les droites correspondent aux valeurs propres réelles, les plans stables peuvent correspondre à des paires de valeurs propres complexes conjuguées.

Idées clés

•

Diagonalisabilité sur $\mathbb{R}$ vs $\mathbb{C}$ .

•

Plans stables associés à des valeurs propres complexes.

Résolution.

Le polynôme caractéristique se calcule par blocs : $\chi_A(X) = (X-3) \begin{vmatrix} X-1 & 2 -2 & X-3 \end{vmatrix} = (X-3) [ (X-1)(X-3) + 4 ]$ $\chi_A(X) = (X-3) [ X^2 - 4X + 3 + 4 ] = (X-3)(X^2 - 4X + 7)$ Les racines de $X^2 - 4X + 7$ sont $2 \pm i\sqrt{3}$ . Le spectre sur $\mathbb{C}$ est donc $\boxed{ \text{Sp}_{\mathbb{C}}(A) = \{ 3, 2 + i\sqrt{3}, 2 - i\sqrt{3} \} }$ .
- Sur $\mathbb{R}$ : Le polynôme n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ car il possède des racines complexes non réelles. Donc $\boxed{A \text{ n'est pas diagonalisable sur } \mathbb{R}}$ .
- Sur $\mathbb{C}$ : Le polynôme est scindé sur $\mathbb{C}$ et possède trois racines distinctes. $\boxed{A \text{ est donc diagonalisable sur } \mathbb{C}}$ .
Cherchons les sous-espaces stables réels :
- Dimension 0 et 3 : $\{0\}$ et $\mathbb{R}^3$ sont toujours stables.
- Dimension 1 : Ce sont les droites engendrées par les vecteurs propres réels. La seule valeur propre réelle est $3$ . $A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -1 0 & -2 & -2 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Le noyau est $\text{vect}(e_1)$ où $e_1 = (1,0,0)$ . Il y a donc une seule droite stable : $\boxed{ D = \mathbb{R} \cdot (1,0,0) }$ .
- Dimension 2 : Un plan stable $H$ correspond soit à la somme de deux droites stables (impossible ici), soit au plan associé à la partie réelle et imaginaire des vecteurs propres complexes. Soit $v = u + iw$ un vecteur propre associé à $2 + i\sqrt{3}$ . Alors $\text{vect}(u, w)$ est un plan stable par $A$ . Cherchons $v$ tel que $(A - (2+i\sqrt{3})I)v = 0$ . On trouve après calcul que ce plan est le plan d'équation $x=0$ (le bloc inférieur agissant sur les coordonnées $y,z$ ). Vérification : Si $x=0$ , alors $A \begin{pmatrix} 0 y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5y-z y-2z 2y+3z \end{pmatrix}$ . Pour que ce soit stable, il faut que la première coordonnée soit nulle : $5y-z=0$ . Ce n'est pas le cas pour tout $(y,z)$ . En fait, par la méthode des vecteurs propres de $^t A$ , on cherche $n$ tel que $^t An = \lambda n$ . La seule valeur propre réelle de $^t A$ est $3$ avec $n = (1, 5/2, -1/2)$ . Le plan stable est donc $\ker(x + \frac{5}{2}y - \frac{1}{2}z = 0)$ .

Une matrice peut être diagonalisable sur $\mathbb{C}$ mais pas sur $\mathbb{R}$ . Les sous-espaces stables réels ne se limitent pas aux espaces propres si le spectre contient des complexes non réels.