Réduction de l'endomorphisme reste de division

Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$ (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On suppose que $\deg(B) = n+1$ avec $n \in \mathbb{N}$ . On considère l'application $\Phi$ définie sur $\mathbb{K}_n[X]$ par :

\Phi(P) = R   \text{où } R \text{ est le reste de la division euclidienne de } AP \text{ par } B

Justifier que $\Phi$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}_n[X]$ .
Déterminer le noyau de $\Phi$ en fonction de $A$ et $B$ . À quelle condition $\Phi$ est-il un automorphisme ?
Dans cette question, on suppose $n=2$ $n = 2$ , $B = X(X-1)(X-2)$ $B = X (X - 1) (X - 2)$ et $A = (X+1)^2$ $A = (X + 1)^{2}$ .
1. Écrire la matrice de $\Phi$ dans la base canonique $(1, X, X^2)$ .
2. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable ?
On suppose que $B$ $B$ possède $n+1$ $n + 1$ racines distinctes dans $\mathbb{K}$ $K$ , notées $x_0, x_1, \dots, x_n$ $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ .
1. Pour tout $j \in \{0, \dots, n\}$ , on note $L_j$ le $j$ -ème polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux racines de $B$ . Calculer $\Phi(L_j)$ .
2. En déduire les éléments propres de $\Phi$ . L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
Étude du cas général :
1. Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , montrer que $\Phi$ est diagonalisable si et seulement si pour chaque racine $\alpha$ de $B$ de multiplicité $m \ge 2$ , le polynôme $A - A(\alpha)$ est divisible par $(X-\alpha)^m$ .
2. Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , à quelle condition nécessaire et suffisante $\Phi$ est-il diagonalisable ?

1.

Pour le noyau, utiliser la définition de la division euclidienne : $AP = BQ + R$ . On a $R=0$ si et seulement si $B$ divise $AP$ .

2.

Pour la question 3, calculer les images de la base ou utiliser les valeurs de $A$ aux racines de $B$ .

3.

Pour la question 4, remarquer que $AL_j \equiv A(x_j)L_j \pmod{B}$ en évaluant aux racines.

4.

Pour la question 5, utiliser le fait que $\Phi$ est la restriction de la multiplication par $A$ dans l'algèbre quotient $\mathbb{K}[X]/(B)$ . Un bloc de Jordan associé à une racine multiple $\alpha$ ne donne une matrice diagonale pour $A(\Phi)$ que si les dérivées de $A$ s'annulent en $\alpha$ .

Idées clés

•

Relation fondamentale : $\Phi(P) \equiv AP \pmod{B}$ avec $\deg(\Phi(P)) < \deg(B)$ .

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Lien entre valeurs propres et valeurs du polynôme $A$ aux racines de $B$ .

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Utilisation de la base de Lagrange pour la diagonalisation.

Résolution.

Soient $P_1, P_2 \in \mathbb{K}_n[X]$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ . Par définition de la division euclidienne : $AP_1 = BQ_1 + \Phi(P_1) \text{et} AP_2 = BQ_2 + \Phi(P_2)$ Par linéarité de la multiplication et de la division : $A(\lambda P_1 + P_2) = B(\lambda Q_1 + Q_2) + (\lambda \Phi(P_1) + \Phi(P_2))$ Comme $\deg(\lambda \Phi(P_1) + \Phi(P_2)) \le \max(\deg \Phi(P_1), \deg \Phi(P_2)) < \deg B$ , par unicité du reste : $\Phi(\lambda P_1 + P_2) = \lambda \Phi(P_1) + \Phi(P_2)$ L'application est linéaire et l'image est bien dans $\mathbb{K}_n[X]$ , donc $\Phi \in \mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])$ .
$P \in \ker \Phi \iff AP \equiv 0 \pmod B \iff B \text{ divise } AP$ . Soit $D = \text{pgcd}(A, B)$ et $B = D \cdot B_1$ . Alors $B$ divise $AP \iff B_1$ divise $(A/D)P$ . D'après le lemme de Gauss, comme $B_1$ et $A/D$ sont premiers entre eux, cela équivaut à : $\boxed{ P \text{ est un multiple de } \frac{B}{\text{pgcd}(A, B)} }$ $\Phi$ est un automorphisme ssi $\ker \Phi = \{0\}$ . Comme $\deg(B/\text{pgcd}(A, B)) \le n+1$ , le seul multiple de degré $\le n$ est nul ssi $\deg(B/\text{pgcd}(A, B)) > n$ . Cela arrive si et seulement si $\text{pgcd}(A, B)$ est un polynôme constant. $\boxed{ \Phi \in GL(\mathbb{K}_n[X]) \iff \text{pgcd}(A, B) = 1 }$
1. $B = X^3 - 3X^2 + 2X$ et $A = X^2 + 2X + 1$ . $\Phi(1) = \text{reste}(X^2+2X+1, B) = X^2+2X+1$ . $\Phi(X) = \text{reste}(X^3+2X^2+X, B) = (X^3-3X^2+2X) + 5X^2 - X \equiv 5X^2 - X \pmod B$ . $\Phi(X^2) = \text{reste}(X^4+2X^3+X^2, B)$ . Or $X^4 = X \cdot X^3 = X(B + 3X^2 - 2X) \equiv 3X^3 - 2X^2 \equiv 3(B + 3X^2 - 2X) - 2X^2 \equiv 7X^2 - 6X$ . D'où $\Phi(X^2) = (7X^2-6X) + 2(5X^2-X) + X^2 = 18X^2 - 8X$ . La matrice est donc : $\boxed{ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 2 & -1 & -8 1 & 5 & 18 \end{pmatrix} }$
2. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Cependant, on sait que $\lambda$ est valeur propre ssi il existe $P \neq 0$ tel que $(A-\lambda)P$ est multiple de $B$ . Pour $P(x_i) \neq 0$ , cela impose $\lambda = A(x_i)$ . Ici, les racines de $B$ sont $\{0, 1, 2\}$ . Les valeurs de $A$ sont $A(0)=1, A(1)=4, A(2)=9$ . Comme ce sont 3 valeurs distinctes pour un espace de dimension 3, $\Phi$ est diagonalisable.
1. Par définition des polynômes de Lagrange, $L_j(x_i) = \delta_{i,j}$ . Le polynôme $AL_j - A(x_j)L_j$ s'annule en chaque racine $x_i$ de $B$ . En effet, si $i=j$ , $A(x_j) \cdot 1 - A(x_j) \cdot 1 = 0$ . Si $i \neq j$ , $A(x_i) \cdot 0 - A(x_j) \cdot 0 = 0$ . Comme $B$ est à racines simples, $B$ divise $AL_j - A(x_j)L_j$ . Puisque $\deg(A(x_j)L_j) = n < \deg B$ , c'est le reste : $\boxed{ \Phi(L_j) = A(x_j)L_j }$
2. Les $L_j$ sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres $A(x_j)$ . Comme $(L_0, \dots, L_n)$ forme une base de $\mathbb{K}_n[X]$ (base de Lagrange), $\Phi$ est diagonalisable. $\boxed{ \text{Sp}(\Phi) = \{A(x_0), \dots, A(x_n)\} }$
1. $\Phi$ est la matrice $A(M)$ où $M$ est la matrice de la multiplication par $X$ dans $\mathbb{C}[X]/(B)$ . $M$ est semblable à une matrice de Jordan par blocs. Pour un bloc de taille $m$ associé à $\alpha$ , $A(J_m(\alpha))$ est diagonalisable ssi c'est une matrice diagonale (car c'est une matrice triangulaire supérieure avec $A(\alpha)$ sur la diagonale). Ceci arrive ssi toutes les dérivées $A^{(k)}(\alpha)$ sont nulles pour $1 \le k < m$ . Cela équivaut à dire que $(X-\alpha)^m$ divise $A - A(\alpha)$ .
2. Sur $\mathbb{R}$ , il faut en plus que toutes les valeurs propres soient réelles. Donc $B$ doit être scindé sur $\mathbb{R}$ ET la condition sur les multiplicités doit être vérifiée.

Attention à ne pas dire que les valeurs propres sont toujours distinctes. Si $A(x_i) = A(x_j)$ , la valeur propre est multiple, mais l'endomorphisme reste diagonalisable si $B$ est à racines simples car on dispose toujours d'une base de vecteurs propres (les $L_j$ ).