Perturbation de rang un d'une matrice diagonale

Résolution.

1. Soit $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ un vecteur non nul. L'équation $AX = \lambda X$ est équivalente au système :
   $$\forall i \in \{1, \dots, n\},   (d_i + b_i)x_i + \sum_{j \neq i} b_j x_j = \lambda x_i$$
   En introduisant la somme $S = \sum_{j=1}^n b_j x_j$, le système se simplifie en :
   $$\forall i \in \{1, \dots, n\},   d_i x_i + S = \lambda x_i \iff (\lambda - d_i)x_i = S$$
   Si $\lambda \notin \{d_1, \dots, d_n\}$, alors pour tout $i$, $x_i = \frac{S}{\lambda - d_i}$. Puisque $X \neq 0$, on a nécessairement $S \neq 0$ (sinon tous les $x_i$ seraient nuls). En injectant l'expression de $x_i$ dans la définition de $S$, on obtient :
   $$S = \sum_{i=1}^n b_i \frac{S}{\lambda - d_i}$$
   Comme $S \neq 0$, on peut simplifier par $S$ pour obtenir la condition :
   $$\boxed{\sum_{i=1}^n \frac{b_i}{\lambda - d_i} = 1}$$
   Le vecteur propre associé est alors nécessairement colinéaire à :
   $$\boxed{X_{\lambda} = \left( \frac{1}{\lambda - d_1}, \dots, \frac{1}{\lambda - d_n} \right)^T}$$

2. Si les $d_i$ sont distincts, la fonction $f(t) = 1 - \sum_{i=1}^n \frac{b_i}{t - d_i}$ s'annule exactement aux racines de $\chi_A(t)$ qui ne sont pas dans $\{d_1, \dots, d_n\}$. En multipliant par le dénominateur commun $\prod (d_i - t)$, on identifie le polynôme caractéristique :
   $$\boxed{\chi_A(t) = \prod_{i=1}^n (d_i - t) + \sum_{i=1}^n b_i \prod_{j \neq i} (d_j - t)}$$
   Par continuité des coefficients par rapport aux paramètres $d_i$, cette formule reste valable même si les $d_i$ ne sont pas distincts.

3. Le déterminant est donné par $\det(A) = \chi_A(0)$. En appliquant la formule précédente :
   $$\boxed{\det(A) = \prod_{i=1}^n d_i + \sum_{i=1}^n b_i \prod_{j \neq i} d_j}$$

4. Supposons $d_1 < d_2 < \dots < d_n$. Posons $f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{b_i}{t - d_i} - 1$. $f$ est continue et dérivable sur chaque intervalle $]d_k, d_{k+1}[$. Sa dérivée $f'(t) = -\sum \frac{b_i}{(t-d_i)^2}$ est strictement négative, donc $f$ est strictement décroissante sur ces intervalles. Étudions les limites : $\lim_{t \to d_k^+} f(t) = +\infty$ et $\lim_{t \to d_{k+1}^-} f(t) = -\infty$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s'annule exactement une fois sur chacun des $n-1$ intervalles $]d_k, d_{k+1}[$. Cela fournit $n-1$ racines distinctes. De plus, $\lim_{t \to +\infty} f(t) = -1$ et $\lim_{t \to d_n^+} f(t) = +\infty$, donc il existe une $n$-ième racine dans $]d_n, +\infty[$. On a ainsi trouvé $n$ racines réelles distinctes pour $\chi_A$.
   $$\boxed{\text{La matrice } A \text{ possède } n \text{ valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable.}}$$

5. Si certains $d_i$ sont égaux, la matrice reste diagonalisable. Supposons par exemple que $d_1 = d_2 = \dots = d_p < d_{p+1} < \dots < d_n$. L'équation $(\lambda - d_1)x_i = S$ pour $i \in \{1, \dots, p\}$ montre que si $\lambda = d_1$, on doit avoir $S = 0$. $S = 0$ équivaut à $\sum_{j=1}^n b_j x_j = 0$. Pour $\lambda = d_1$, les équations pour $i > p$ deviennent $(d_i - d_1)x_i + 0 = 0$, soit $x_i = 0$. Il reste donc une seule équation pour $p$ variables $(x_1, \dots, x_p)$ : $\sum_{j=1}^p b_j x_j = 0$. L'espace propre $E_{d_1}$ est donc de dimension $p-1$. Le polynôme $\chi_A$ admet $d_1$ comme racine de multiplicité au moins $p-1$. Les autres racines (au nombre de $n-p+1$) sont obtenues par l'étude de la fonction $f$ comme précédemment. Puisque la somme des dimensions des espaces propres atteint $n$, la matrice est toujours diagonalisable.