Endomorphismes anticommutants de carré -Id

Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie $n \in \mathbb{N}^{*}$ . On considère une famille $(u_{1}, \ldots, u_{p})$ avec $p \geqslant 2$ d'endomorphismes de $E$ satisfaisant les conditions suivantes :

Pour tout $k \in \{1, \dots, p\}$ , $u_{k}^{2} = -\text{id}_{E}$ .
Pour tout couple d'indices $(k, \ell)$ tels que $k \neq \ell$ , $u_{k} \circ u_{\ell} = -u_{\ell} \circ u_{k}$ .

Justifier que chaque $u_{k}$ est un automorphisme et qu'il est diagonalisable.
Établir que la dimension $n$ de l'espace $E$ est nécessairement paire.
Déterminer le spectre de chaque endomorphisme $u_{k}$ .
Préciser les ordres de multiplicité des valeurs propres pour chacun des $u_{k}$ .
En déduire la valeur du déterminant de $u_{k}$ .

1.

Pour la diagonalisabilité, exploiter un polynôme annulateur simple de $u_k$ .

2.

Pour la dimension et le spectre, étudier comment $u_\ell$ agit sur les sous-espaces propres de $u_k$ en utilisant la relation d'anticommutation.

3.

Penser à la relation entre le déterminant et les valeurs propres (avec leurs multiplicités).

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ .

•

Étude du transfert d'un sous-espace propre vers un autre par un automorphisme.

•

Lien entre la parité de la dimension et la symétrie du spectre.

Résolution.

Soit $k \in \{1, \dots, p\}$ . L'égalité $u_k^2 = -\text{id}_E$ montre que $u_k \circ (-u_k) = \text{id}_E$ . Par conséquent, $u_k$ est inversible et son inverse est $-u_k$ . $\boxed{u_k \in GL(E)}$
De plus, le polynôme $P(X) = X^2 + 1$ est un polynôme annulateur de $u_k$ . Dans $\mathbb{C}[X]$ , ce polynôme se factorise sous la forme :
$P(X) = (X - i)(X + i)$ Les racines de $P$ sont $\{i, -i\}$ . Elles sont simples. Comme $u_k$ possède un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , on en conclut : $\boxed{u_k \text{ est diagonalisable}}$
Soit $\lambda$ une valeur propre de $u_k$ . D'après la question précédente, $\text{Sp}(u_k) \subset \{i, -i\}$ . Soit $x \in E_\lambda(u_k)$ un vecteur propre associé à $\lambda$ , donc $u_k(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$ . Considérons $u_\ell$ avec $\ell \neq k$ . Utilisons la relation d'anticommutation : $u_k(u_\ell(x)) = -u_\ell(u_k(x)) = -u_\ell(\lambda x) = -\lambda u_\ell(x)$ Comme $u_\ell$ est un automorphisme et $x \neq 0$ , alors $u_\ell(x) \neq 0$ . L'égalité ci-dessus montre que $u_\ell(x)$ est un vecteur propre de $u_k$ associé à la valeur propre $-\lambda$ . Ainsi, si $\lambda \in \text{Sp}(u_k)$ , alors $-\lambda \in \text{Sp}(u_k)$ . De plus, l'application $u_\ell$ induit un isomorphisme de $E_\lambda(u_k)$ vers $E_{-\lambda}(u_k)$ . En effet, si $y \in E_\lambda(u_k)$ , alors $u_\ell(y) \in E_{-\lambda}(u_k)$ (même calcul que ci-dessus). L'injectivité est immédiate car $u_\ell$ est un automorphisme. On en déduit que : $\dim E_\lambda(u_k) = \dim E_{-\lambda}(u_k)$ Comme le spectre est inclus dans $\{i, -i\}$ , les deux seules valeurs propres possibles sont $i$ et $-i$ . Si l'une est valeur propre, l'autre aussi par symétrie. L'espace $E$ étant la somme directe des sous-espaces propres, on a : $n = \dim E_i(u_k) + \dim E_{-i}(u_k) = 2 \dim E_i(u_k)$ On en conclut que $n$ est pair. $\boxed{n \in 2\mathbb{N}}$
Supposons que le spectre de $u_k$ soit réduit à un seul élément, par exemple $\{i\}$ . Alors, puisque $u_k$ est diagonalisable, on aurait $u_k = i \cdot \text{id}_E$ . La relation d'anticommutation $u_k u_\ell = -u_\ell u_k$ deviendrait : $i u_\ell = -i u_\ell \implies 2i u_\ell = 0 \implies u_\ell = 0$ Ceci est impossible car $u_\ell$ est un automorphisme. Le même raisonnement s'applique pour $\{-i\}$ . Le spectre contient donc nécessairement les deux valeurs. $\boxed{\text{Sp}(u_k) = \{i, -i\}}$
D'après le résultat de la question 2 sur l'égalité des dimensions des sous-espaces propres : $\dim E_i(u_k) = \dim E_{-i}(u_k) = \frac{n}{2}$ Les multiplicités des deux valeurs propres $i$ et $-i$ sont donc égales à $n/2$ . $\boxed{m(i) = m(-i) = \frac{n}{2}}$
Le déterminant est le produit des valeurs propres comptées avec leur multiplicité. $\det(u_k) = i^{n/2} \cdot (-i)^{n/2} = (i \cdot (-i))^{n/2} = (1)^{n/2}$ On obtient donc : $\boxed{\det(u_k) = 1}$

L'erreur classique serait d'oublier de justifier que les deux valeurs $i$ et $-i$ sont effectivement dans le spectre. La diagonalisabilité seule ne garantit pas que toutes les racines du polynôme annulateur sont des valeurs propres, c'est l'anticommutation qui impose ici la présence des deux racines.